Giáo trình Hình học sơ cấp: Phần 2

Giáo trình Hình học sơ cấp cung cấp cho sinh viên các phương pháp khác nhau giải toán hình học: Phương pháp tổng hợp, phương pháp véctơ, sử dụng các phép biến hình để giải toán. Giáo trình gồm 2 phần, sau đây là phần 2. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Hình học sơ cấp: Phần 2 PHẨN THỨ H A I HÌNH ĐA D I Ệ N . HÌNH L ồ i . BIÊN HÌNH. DỰNG HÌNH Các nội dung chủ yêu của hình học sơ cấp được t r ì n h bày ởphần này nhằm giúp học viên cao học có cơ sở nghiên cứu sâusắc hơn các v ấ n đề tương ứng được xét trong giáo t r ì n h toán họcở trường phô thông. Ngoài mửc đích nói t r ê n vấn đề h ì n h đadiện, h ì n h lồi, biến hình, dựng hình n ê u trong phần thử hai nàycòn là những vấn để cơ sở soi sáng các giáo trình tự chọn chohọc sinh ờ trường phô thông trung học p h â n ban thuộc khoa họctự nhiên. K h i t r ì n h bày các nội dung nói t r ê n c h ú n g tôi đã chú trọngphướng p h á p định hướng tìm tòi lời giải các bài toán, chú trọngkhắc phửc những khó k h ă n về mặt phương p h á p giải các bàit o á n dựng hình, các bài toán giải được bằng phương p h á p biênh ì n h và t r ì n h bày các tính chất của các phép biên hình nhờ sửdửng công cử véctơ, tạo môi liên k ế t trong giữa các chương mửck h á c nhau của giáo t r ì n h toán học ở trường phổ thông. CHƯƠNG H I HÌNH ĐA D I Ệ N VÀ HÌNH L ồ i §1. Góc n h ị d i ê n và góc tam d i ệ n 1. Đinh nghĩa góc nhị diên và góc tam d i ệ n Giả sử (P) và (Q) là hai mặt phảng cắt nhau theo giao tuyến a.Dường thẳng a phân chia mỗi mặt phang (P), (Q) thành hai nửamặt phang. Kí hiệu a và (3 là hai nửa mặt phang tương ứng thuộc(P) và (Q) (H. 25 ). Hình tạo bởi hai nửa mặt phang a và p được gọi 81là góc nhị diện; các nửa mặt phang a,p gọi là mặt của góc nhị diện; đườngthẳng a gọi là cạnh của góc nhị diện.Một mặt phang (R) vuông góc vối acắt a và p theo các nửa đường thắngp, q tạo t h à n h góc phang nhị diện. ọ p Vì các góc có cạnh tương ứngsong song và cùng chiều thì bằngnhau nên t ấ t cả các góc phang của a Lgóc nhị diện bằng nhau. Số đo củagóc phang nhị diện ọ gọi là số đo của (H.25)góc nhị diện. Vì vởy, cp nhởn giá trịn h ư sô đo góc giữa hai tia trong mặt phang, nghĩa là: ũ < ọ < 7T . C h ú ý: Cần p h â n biệt góc giữa hai m ặ t phang (P ), (Q) vàgóc nhị diện tạo bởi hai nửa m ặ t phang a và p . Hai m ặ t phang(P), (Q) cắt nhau tạo t h à n h bốn góc nhị diện có số đo (pi thoam ã n : 0 < (Pi < 71. Vì tổng bốn góc bằng 2 71 n ê n ắ t phải có một gócc h ă n g hạn: 0 < (pj < —. Lúc đó, (p, là số đo góc giữa (P) và (Q)., „ „. .. TIVây: (p = (p, n ê u 0 < (p < — ọ + ọ, = n n ê u — < (p Giả sử a, b, c là ba nửa đường t h ắ n g k h ô n g cùng n ằ m trongmột mặt phang, xuất p h á t từ một điểm s. Các nửa đường thanga, b, c tạo t h à n h ba góc (a,b); (b,c); (c,a) ( h ì n h 26). Hình tạo bơi ba góc (a,b); (b,c); (c,a) được gọi ìầgóc tam diện,các nửa đường thẳng a, b, c gọi là các cạnh của góc tam diện, các82góc phang (a,b); (b,c) ; (c,a) gọi là mặt(góc phang) của góc tam diện. Các m ặ t phảng của các góc (a,b) và a(a,c) cắt nhau theo đường thang chứa a. Các nửa m ặ t phang của hai m ặ t A. cphang trên tương ứng chứa b và c tạot h à n h một góc nhị diện. Góc nhị diệnnày được gọi là góc nhị diện của góc a ctam diện, có canh a (góc nhị diện đôidiện với góc phang (b.c)). bi 2. Đ ị n h lý h à m s ô c ô s i n v à đ i n h (H.26)lý h à m s ô s i n đ ô i với g ó c t a m d i ê n Đ ị n h l ý 1: Nếu ạ, p, ỵ là các gócphang của một góc tam diện và c là góc nhị diện đôi diện vớigóc phang a thi: cosa = cos/ỉ COSỴ+ sin/3 sinỵcosC. Chứng minh: Không l à m m ấ t tổng q u á t đ ặ t a = (a,b); p = (b,c) ; y = (c,a) „ , 71 = = ÍT(hình 26). G i ả sử 0 < a, p, Y < y . Trong trường hợp p y 2định lí được k i Ỵ m tra trực t i ế p . Nêu một trong hai góc p , y tù,chẳng h ạ n Ỵ > — t h ì xét tia đôi a của a qua s và xét góc tamdiện tạo bởi ả, b, c. Mặt phang (R) vuông góc với c t ạ i c cắt a, b tương ứng t ạ icác điỴm A,R. Giả sử se = Ì , khi đó: 83 BC = tgp; AC = toy: SB = , SA=—— ...