Thực hành giải toán hình học sơ cấp: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn "Thực hành giải toán hình học sơ cấp" trình bày các nội dung: Một số bài toán nổi tiếng, phương pháp giải toán hình học, một số dạng toán hình học. Cuối sách còn có phần bài tập để người học ôn tập và củng cố kiến thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Thực hành giải toán hình học sơ cấp: Phần 2 thư ơ ng 5 MỘT SỐ BÀI TOÁN NỔI TIẾNG Trong lịch sử Hình học đã ghi lại nhiều bài toán hay gắn với tên tuổi các nhà toán học hoặc với những huyền thoại. Dưới đây là một số bài toán hình học nổi tiếng như vậy. §1. MỘT SỐ BÀI TOÁN DựNG HÌNH c ổ C húng ta đã biết bài toán chia ba một góc a, đưa về việc dựng nghiệm :ủ a phương trìn h bậc ba 4x3—3x —a = 0 vối a = COS— . Trong chương trước, ta đã biết: Phương trìn h bậc ba vối hệ sô' hữu ỉ không có nghiệm hữ u tỉ th ì không dựng được nghiệm bằn g thước và :ompa. Do đó bài to á n chia ba góc có giải được h ay không là tu ỳ thuộc 'ào góc a đã cho. Một sô' bài toán dựng hình cô nổi tiếng c ổ Hy Lạp cũng được giải đáp >hờ á p d ụ n g đ ị n h lí tr ô n . .1. Bài to án g ấ p đôi khôi lập phương Thòi cổ Hy Lạp (th ế kỉ IV, TCN), ỏ đảo Delos tro n g vùng biển Hy Lạp lạn bệnh dịch lan trà n . Một n h à tiên tri nói rằn g cần phải xây lại một ngôi nộ hình lập phương có th ể tích gấp đôi th ể tích của ngôi mộ cũ (cũng hình ập phương) th ì n ạ n dịch mới trừ được. Nhiều n h à toán học thời đó đã tham [ia giải bài toán này nhưng đều phải dùng các dụng cụ khác thưốc kẻ và ompa mới giải được. Phải đợi đến năm 1837 thì n h à toán học Pháp 117 W antzel (1814 - 1848) mới chứng m in h được rằ n g bài to án dựng hình “gấp đôi khôi lập phương' b ằng thước kẻ và com pa không có lời giải. Giả sử ngôi mộ h ìn h lập phương có cạnh a, th ể tích V = a \ ngôi mộ mới hình lập phương có cạnh X, th ể tích 2V = X3, do đó X3= 2 a 3. Lấy a b ằng m ột đơn vị độ dài, ta có phương trìn h bậc 3 hệ sô’ nguyên: X3- 2 = 0. Phương trìn h n ày không có nghiệm hữ u tỉ, n ên theo đ ịn h lí trên, k h ô n g d ự n g đ ư ợ c n g h iệ m X c ủ a n ó b ằ n g th ư ớ c v à c o m p a . 1.2. Bài to á n c ẩ u phư ơ ng h ìn h trò n D ựng bằng thước và com pa m ột h ìn h vuông có diện tích bằng diện tích m ột h ìn h tròn đ ã cho. Bài to án này được đ ặ t ra vào kho ản g năm 1800 trước C ông nguyên, đắ được nh iều n h à to á n học nổi tiến g n ghiên cứu. Gọi X là cạnh h ìn h vuông có diện tích b ằn g diện tích của h ìn h trò n có bán k ín h R, ta có phương trìn h : X2 = R 2 X = R \fn. Năm 1882, n h à toán học Đức L indem ann (1852 — 1939) đã chứng m inh rằ n g n là m ột sô’ siêu v iệt (không là nghiệm của đa th ứ c với hệ số hữu tỉ), nên nghiệm của phương trìn h trê n không biểu diễn được nhờ một sô' hữ u h ạ n phép to án sơ cấp, do đó bài to án không dự ng được nghiệm bằng thưóc và compa. Đến nay, do không n ắm vững v ấ n đề nên v ẫ n còn n h iề u ngưòi tiếp tục giải bài to án này, lầm tư ỏng đ ã tìm được lời giải m à không b iết đã mắc sai lầm tro n g cách giải. 118 §2. CÁC BÀI TOÁN KHÁC 2.1. Bài to á n C o p e rn ic Cho đường tròn (O, R) và đường tròn R ’), có 2 R ’ = R. Đường tròn (O') lăn không trượt bên trong đường tròn (O). Tim fuỹ tích của điểm M trên đường tròn (O’ ). Lời giải: Cho đường tròn (0 , R) và ìường tròn ( 0 \ R’), có 2R' = R. Đưòng ;ròn (O’) lăn không trư ợ t bên trong đường ;ròn (0 ), p là điểm tiếp xúc hiện thời. Diêm N sẽ là vị tr í tiếp xúc sau t giây của la i đường tròn, khi đó điểm M trên ỉưòng trò n nhỏ sẽ di động đến vị trí điểm ;iếp xúc N của h ai đường tròn. Do lăn chông trư ợ t nên độ dài cung PN của ỉường tròn (O) bàng độ dài cung PM của ỉường tròn O’. T rên đường tròn (O’), góc nội tiếp POM có sô đo a (rad) bằng nửa sô’ !o của cung PM, ta có độ dài cung PM bằng 2R'a. T rên đường trò n (O), góc ở tâm PON có sô' đo p bằng số đo cung PN, ;a có độ dài cung PN b ằng Rp. Theo trên , độ dài cung PM bằng độ dài cung PN, nên 2R’a = Rp, mà ÌR’ = R, do đó a = p, tức là: POM = PON. Vậy o , M, N luôn luôn th ẳn g làng, hay diêm M luòn di dộng trẽn dường kinh ON của đường tròn (O). 119 2.2. Tam giác Morley. Định lí Morley Ba giao điểm của các đường thằng chia ba các góc trong (hoặc ngoài) của tam giác ABC lập thành một tam giác đều, được gọi là tam giác Morley. Frank Morley (1860 - 1961) Nhà toán học người Anh Hình 64 Lời giải: Đặt góc A = 3ot, B = 3p, và c = 3y; có a + p + Y= 60°. Giả sử bán kính đưòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 1, th AB = 2sin3y, BC = 2sin3a, AC = 2sin3p. Theo công thức hàm sô' sin đối với tam giác BPC: BP _ BC _ 2sin3a _ 2sin3a sin y - sin(180° - p - y) _ sin(P + y) sin(60° - a) 120 ỉo đó: gp _ 2 s in 3 a .s in y sin(60° - a ) Lại có: sin 3 a = 3 sin a - 4sin3a Vã = 4 sin a[(——2 - sin 2 a] = 4sina(sin260° —sin 2 a) ) = 4sina(sin60° + sina)(sin60° —sina). H Vậy: BP = 8 sin a siny sin(60° + a). q „ _________ _ _ P Tương tự: BR = 8 siny sin a sin(60° + y). Theo công thức h àm s ố cosin: PR 2 = BP 2 + BR 2 - 2BP.BR cosß, = 64sinza sin 2 [sirr(60° + a) + sin2(60° + y) - ? ...