Một vài kết quả về đường bậc ba

Mục tiêu của chuyên đề nhằm trang bị một cách sâu sắc các kiến thức, rèn luyện tư duy và kĩ năng giải toán hình cho các em học sinh khá, giỏi; cho các em sinh viên, các học viên cao học. Với một vài bài toán mở để các em tập dượt nghiên cứu, xây dựng kết quả mới. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một vài kết quả về đường bậc ba Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017 MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ ĐƯỜNG BẬC BA Đàm Văn Nhỉ Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội Tóm tắt nội dung Mục đích của báo cáo này là trình bày một phần nội dung của cuốn giáo trình (xem[2]) nhằm lý giải sự hình thành, phát triển của một số kết quả trong Hình học Sơ cấp vàxâu chuỗi các vấn đề liên quan lại thành một thể logic. tác giả mong muốn đưa đến chongười đọc một cái nhìn toàn cục về môn học này về sự ra đời của Hệ tiên đề Hilbert, Hệtiên đề Wayne và Hệ tiên đề Pogorelov của Hình học Euclid, giới thiệu Mô hình Carte đểkiểm tra hệ tiên đề do Pogorelov đưa ra thỏa mãn ba yêu cầu: Độc lập-Phi mâu thuẫn-Đầy đủ. Tác giả tập trung trình bày Định lý Pascal cho đường cong bậc hai và chỉ ra Địnhlý Newton, Pappus, Brianchon và mở rộng bài toán con bướm. Việc sử dụng phươngpháp đa thức và mở rộng trường cho ta hình dung được sự phát triển của môn Hình họcSơ cấp từ đa thức bậc 0, đa thức bậc 1 rồi đến đa thức bậc 2 và tiếp tục phải xét đa thứcbậc 3. Bậc cao hơn nữa của hình học sẽ được tiếp tục nghiên cứu trong Hình học Đại số. Mục tiêu của chuyên đề nhằm trang bị một cách sâu sắc các kiến thức, rèn luyện tưduy và kĩ năng giải toán hình cho các em học sinh khá, giỏi; cho các em sinh viên, cáchọc viên cao học. Với một vài bài toán mở để các em tập dượt nghiên cứu, xây dựng kếtquả mới.1 Định lý PascalĐịnh lý 1 (Pascal). Giả sử 6 điểm A1 , A2 , . . . , A6 nằm trên đường tròn (C ). Khi đó, điểm giaoA = ( A1 A5 ) × ( A2 A4 ), B = ( A3 A4 ) × ( A6 A1 ), C = ( A2 A6 ) × ( A3 A5 ) thẳng hàng.Chứng minh. Gọi I = A1 A5 × A2 A6 , J = A1 A5 × A3 A4 và K = A3 A4 × A2 A6 . TheoĐịnh lý Menelaus, với tam giác I JK và các bộ ba điểm ( A, A2 , A4 ), ( B, A1 , A6 ), (C, A3 , A5 )thuộc ba cạnh tương ứng thẳng hàng ta nhận được ba hệ thức sau: AI A4 J A2 K A6 K A1 I BJ CK A5 I A3 J . . = 1, . . = 1, . . = 1. AJ A4 K A2 I A6 I A1 J BK CI A5 J A3 KNhân các kết quả này lại và biến đổi theo phương tích AI A4 J A2 K A6 K A1 I BJ CK A5 I A3 J 1 = . . . . . . . . AJ A4 K A2 I A6 I A1 J BK CI A5 J A3 K AI BJ CK A4 J.A3 J A2 K.A6 K A1 I.A5 I AI BJ CK = . . . . . = . . . AJ BK CI A1 J.A5 J A3 K.A4 K A2 I.A6 I AJ BK CI AI BJ CKDo . . = 1 nên A, B, C thẳng hàng theo Định lý Menelaus. AJ BK CI 5 Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017Ví dụ 1. Giả sử tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn ( T ). Giả sử giao I = AC × BD,J = AB × CD và K là giao hai tiếp tuyến Bb và Cc của đường tròn tại B và C. Khi đó ba điểmI, J, K thẳng hàng.Bài giải. Kết quả này được suy ra từ Định lý Pascal với 6 điểm A, B, B, C, C, D.Ví dụ 2. Giả sử 5 điểm A1 , A2 , A3 , A4 , A6 nằm trên đường tròn (C ). Khi đó ba điểm giaoA = ( A1 A3 ) × ( A2 A4 ), B = ( A3 A4 ) × ( A6 A1 ) và C = ( A2 A6 ) × ( A3 t), ở đó A3 t là tiếptuyến với đường tròn (C ) tại A3 , thẳng hàng.Bài giải. Kết quả này được suy ra từ Định lý Pascal và A5 ≡ A3 .Hệ quả 1 (Newton). Giả sử đường tròn nội tiếp trong tứ giác lồi ABCD tiếp xúc với các cạnhAB, BC, CD, DA tại E, F, G, H, tương ứng. Khi đó, bốn đường thẳng AC, BD, EG, FH đồngquy tại một điểm.Chứng minh. Gọi O = EG × FH, X = EH × FG. Vì D là giao điểm của hai tiếp tuyếnGD, HD nên, theo Định lý Pascal, Định lý 1, cho 6 điểm E, G, G, F, H, H có ba điểmO, D, X thẳng hàng. Tương tự, với 6 điểm E, E, H, F, F, G ta cũng có B, X, O thẳng hàng.Ta đã có : BD, EG, FH đồng quy tại O. Hoàn toàn tương tự, AC, EG, FH cũng đồng quytại O. Như vậy, AC, BD, EG, FH đồng quy tại một điểm.Định lý 2. Giả sử 6 điểm A1 , A2 , . . . , A6 nằm trên đường cong bậc hai không suy biến (ℓ). Khiđó ba điểm giao A = ( A1 A5 ) × ( A2 A4 ), B = ( A3 A4 ) × ( A6 A1 ) và C = ( A2 A6 ) × ( A3 A5 )thẳng hàng.Chứng minh. Qua phép biến đổi tuyến tính có thể coi (ℓ) : x = y2 . Ký hiệu dij ( x, y) = 0là phương trình đường thẳng Ai A j . Đặt p( x, y) = d24 ( x, y)d16 ( x, y)d35 ( x, y) − αd34 ( x, y)d26 ( x, y)d15 ( x, y).Đây là một đa thức bậc ba đối với x và y. Tọa độ 6 điểm A1 , . . . , A6 thỏa mãn phươngtrình p( x, y) = 0. Lấy một điểm bất kỳ A thuộc (ℓ), khác 6 điểm trên. Ta chọn α để tọa 6 Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017độ điểm A thỏa mãn p( x, y) = 0. Nếu thế x qua y2 ta được đa thức p(y2 ...