Tổng quát một bài toán thi vô địch Nga năm 2005

Nội dung chính của bài viết "Tổng quát một bài toán thi vô địch Nga năm 2005" trình bày tổng quát hóa một bài toán từ cuộc thi vô địch Nga năm 2005 bằng công cụ điểm đẳng giác cùng với các lời giải thuần túy hình học. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tổng quát một bài toán thi vô địch Nga năm 2005 TỔNG QUÁT MỘT BÀI TOÁN THI VÔ ĐỊCH NGA NĂM 2005 Trần Quang Hùng – Phan Anh Quân TÓM TẮT Bài viết tổng quát hóa một bài toán từ cuộc thi vô địch Nga năm 2005 bằng công cụ điểm đẳng giác cùng với các lời giải thuần túy hình học.Bài toán sau được đề nghị bởi tác giả Andrey Badzyan trong kỳ thi vô địch toàn Nga năm 2005vòng thi tỉnh dành cho lớp 9Bài toán 1. Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp .O/ và đường tròn nội tiếp là.I /. M là trung điểm của AC và N là trung điểm của cung AC d chứa B. Chứng minh rằng∠IMA D ∠I NB. N B I O A M C ELời giải. Gọi BI cắt .O/ tại E khác B. Từ kết quả quen thuộc E là tâm ngoại tiếp tam giácIBC . Từ đó kết hợp hệ thức lượng trong tam giác vuông thì EI 2 D EA2 D EM:EN . Từ đó haitam giác EMI và EI N đồng dạng. Suy ra ∠IMA D ∠EI N IME 90ı D ∠EI N 90ı D∠I NB. Ta có điều phải chứng minh.Nhận xét. Bài toán trên là một kết quả đẹp và có nhiều ý nghĩa trong việc ứng dụng và phát triển.Chúng tôi xin giới thiệt một bài toán trong các bài toán ứng dụng kết quả này như sauBài toán 2. Cho dây BC cố định của đường tròn .O/. A di chuyển trên .O/, I là tâm nộitiếp tam giác ABC . IA cắt .O/ tại D khác A. M là trung điểm BC . N thuộc .O/ sao choDN k IM . P thuộc .O/ sao cho NP k AD. Chứng minh rằng PI luôn đi qua điểm cố địnhkhi A di chuyển. 81 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 K A S N I O B M C P D TLời giải. Gọi tia IM cắt .O/ tại T , tia MI cắt .O/ tại S , MD cắt .O/ tại K cố định. Ta thấyID 2 D BA2 D DM:DK suy ra tam giác 4DMI 4DIK suy ra ∠MID D ∠IKM .1/.Ta lại có DN k ST suy ra DT d D NS. d Từ PN k AD suy ra NA d D PD. d Từ đây suy raPD D SA C DT suy ra ∠PKD D ∠DI T .2/.d c dVậy từ .1/; .2/ suy ra P; I; K thẳng hàng hay PI đi qua K cố định.Nhận xét. Điểm P chính là tiếp điểm của đường tròn mixtilinear nội với đường tròn .O/.Bài toán 1 lần đầu tiên được mở rộng trong [2] bởi tác giả Trần Quang Hùng như sauBài toán 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn .O/ và P; Q đẳng giác trong tam giácABC AP cắt .O/ tại D khác A. DN là đường kính của .O/. ON cắt BC tại M . Chứng minhrằng ∠PMB D ∠ANQ.Sau đó nhờ lời giải của tác giả Phan Anh Quân, bài toán được mở rộng thêm lần nữa như sauBài toán 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn .O/ và P; Q đẳng giác trong tam giácABC AP cắt .O/ tại D khác A. M là điểm thuộc đoạn BC . DM cắt .O/ tại N khác D.Chứng minh rằng ∠PMB D ∠ANQ.Để giải bài toán này chúng tôi sử dụng bổ đề sau, tham khảo [3]. Lời giải của bổ đề này được đềnghị bởi nhiều tác giả trong [3] xong lời giải sau của tác giả Phan Anh Quân được coi là ngắngọn và đẹp nhấtBổ đề 1. Cho tam giác ABC nội tiếp .O/. P; Q đẳng giác trong tam giác ABC . AP cắt .O/tại M khác A. MQ cắt BC tại E. Thì PE k AQ. 82Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 A O P Q G H B C E M NChứng minh bổ đề. Gọi AQ cắt .O/ tại N khác A và cắt BC tại H . Do P; Q đẳng giác, tadễ thấy các tam giác đồng dạng 4CHN 4ACM và 4CPM 4QCN (g.g) suy ra MP NH MEHN:AM D CM:CN D QN:PM suy ra D D vậy PE k AQ. MA NQ MQTrở lại bài toán A N Q O P T B R M C ...