CẤU TRÚC CỦA TỰ ĐỒNG CẤU TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG

Tham khảo tài liệu 'cấu trúc của tự đồng cấu trị riêng và véc tơ riêng', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CẤU TRÚC CỦA TỰ ĐỒNG CẤU TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG Ch¬ng 6 cÊu tróc cña tù ®ång cÊu trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng A. Tãm t¾t lý thuyÕt 1. Kh«ng gian con bÊt biÕn E lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn trêng K vµ f∈L(E,E). §Þnh nghÜa: Kh«ng gian con U⊂ E gäi lµ kh«ng gian con bÊt biÕn ®èi víi f, hay f lµ tù ®ång cÊu bÊt biÕn trªn U nÕu f(U)⊂U. HÖ qu¶ : Trªn c¬ së W={ξ1,ξ2,...,ξn} ma trËn cña tù ®ång cÊu f cã d¹ng ®êng chÐo khi vµ chØ khi c¸c kh«ng gian con L{ξ1},L{ξ2},...,L{ξn} ®Òu lµ kh«ng gian con bÊt biÕn cña f. Gi¶ sö trªn mét c¬ së ®· cho tù ®ång cÊu f cã ma trËn A, nÕu ta t×m ®îc mét c¬ së W mµ trªn W ma trËn cña f cã d¹ng ®êng chÐo khi ®ã ta nãi f hay A chÐo ho¸ ®îc. 2. TrÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng §Þnh nghÜa: Sè λ∈K gäi lµ trÞ riªng cña f nÕu ∃ x≠θ cña E sao cho: f(x)= λx , x gäi lµ vÐc t¬ riªng øng víi trÞ riªng λ cña f. NÕu f cã ma trËn A khi ®ã: A.x=λx vµ còng gäi x lµ vÐc t¬ riªng øng víi trÞ riªng λ cña ma trËn A. HÖ qu¶ : Gäi Lλ{x} lµ kh«ng gian con sinh bëi vÐc t¬ riªng øng víi trÞ riªng λ. Khi ®ã x≠θ lµ vÐc t¬ riªng øng víi trÞ riªng λ cña f khi vµ chØ khi Lλ{x} lµ mét kh«ng gian con bÊt biÕn cña f trªn E. 223 3. §iÒu kiÖn ®Ó ma trËn cña tù ®ång cÊu cã d¹ng ®- êng chÐo §Þnh lý: Cho E lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh h÷u h¹n chiÒu trªn trêng K, ma trËn cña f∈L{E,E} trªn c¬ së W={ξ1,ξ2,...,ξn} cã d¹ng ®êng chÐo khi vµ chØ khi ξ1,ξ2,...,ξn lµ c¸c vÐc t¬ riªng cña f. Khi ®ã ma trËn ®êng chÐo B cña f trªn W cã c¸c phÇn tö trªn ®êng chÐo lµ c¸c trÞ riªng t¬ng øng:  λ 1 0 ... 0     0 λ 2 ... 0  B=  ...    0 0 ... λ n  HÖ qu¶ 1. Cho f cã ma trËn A, nÕu trong E cã mét c¬ së gåm c¸c vÐc t¬ riªng cña f øng víi c¸c trÞ riªng λ1,λ2,...,λn th×: : n det(A)= ∏ λi i =1 2. λ∈K lµ trÞ riªng cña f khi vµ chØ khi Ker(f-λI)≠ {θ} 4. §a thøc ®Æc trng Gi¶ sö f∈L{E,E} trªn c¬ së I={e1, e2,..., en} cã ma trËn A. NÕu x lµ vÐc t¬ riªng øng víi trÞ riªng λ cña f th× f(x)=λx do ®ã Ax=λx hay x lµ nghiÖm kh«ng tÇm thêng cña hÖ thuÇn nhÊt: (A- λI)x=θ Hay (a11 − λ ) x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = 0  a x + (a − λ ) x + ... + a x = 0  21 1 22 2 2n n  ...  a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + (a nn − λ ) x n = 0  224 víi ma trËn c¸c hÖ sè lµ (A- λI). §Ó hÖ cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng (x≠θ ) ta ph¶i cã: a11 − λ a12 ... a1n a 21 a 22 − λ . ... a2n det((A- λI)= =0 ... a n1 a n 2 ... a nn − λ det(A- λI) lµ mét ®a thøc bËc n cña λ, ký hiÖu PA(λ)=det(A- λI): PA(λ)=(-1)nλn+b1λn-1+....+bn-1λ+bn §Þnh nghÜa: NÕu A lµ ma trËn cña tù ®ång cÊu f, khi ®ã ®a thøc: PA(λ)=det(A- λI) gäi lµ ®a thøc ®Æc trng cña f hay ®a thøc ®Æc trng cña A vµ ph¬ng tr×nh PA(λ)=det(A- λI) =0 gäi lµ ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña chóng. HÖ qu¶ 1. λ lµ trÞ riªng cña A khi vµ chØ khi : P A(λ)=det(A- λI) =0 2. §a thøc ®Æc trng cña f kh«ng phô thuéc vµo c¬ së cña E, hay ®a thøc ®Æc trng cña c¸c ma trËn ®ång d¹ng b»ng nhau. det(B- λI) = det(A- λI) 3. Theo ®Þnh lý Viet vÒ nghiÖm cña ®a thøc ta cã: n n Vet(A)= ∑ aii = ∑ λi i =1 i =1 Chó ý: E lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh n chiÒu trªn trêng K khi ®ã: 1. NÕu K lµ trêng sè phøc C th× ∀f∈L(E,E) ®a thøc ®Æc trng cña f lu«n cã ®ñ n nghiÖm kÓ c¶ nghiÖm béi trªn C. 2. NÕu K=R th× chØ nh÷ng nghiÖm thùc cña ph¬ng tr×nh det(A-λI) =0 225 míi lµ trÞ riªng cña f. §Þnh lý: Giao cña hai kh«ng gian con sinh bëi c¸c vÐc t¬ riªng t¬ng øng víi hai trÞ riªng kh¸c nhau cña f b»ng{θ}. §Þnh lý: NÕu λ∈K lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Æc tr- ng det(A-λI)=0 vµ h¹ng cña (A-λI)=r th× cã m =n-r vÐc t¬ riªng ®éc lËp tuyÕn tÝnh øng víi cïng trÞ riªng λ. §Þnh lý: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh ®Æc trng det(A-λI)=0 cña ma trËn A cã p nghiÖm λ1,λ2,...,λp∈K vµ r(A-λiI)=ri (i=1,...,p). NÕu: (n-r1)+(n-r2)+...+(n-rp)=n th× trong E cã hÖ c¬ së gåm n vÐc t¬ riªng cña A vµ khi ®ã ma trËn A cã thÓ chÐo ho¸ trªn K. Chó ý: Ph¬ng tr×nh ®Æc trng det(A-λI)=0 cã thÓ cã ®ñ n nghiÖm (kÓ c¶ nghiÖm kÐp) trªn K nhng nÕu (n-r1)+(n-r2)+...+(n-rp) Mçi hä nghiÖm c¬ së cña (A-λi I).x=θ lµ tËp c¸c vÐc t¬ riªng øng víi cïng trÞ riªng λi. TËp hîp c¸c nghiÖm c¬ së thu ®îc chÝnh l ...