Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

Trong thực tế chúng ta thường gặp những hiện tượng ngẫu nhiên, tức là những hiện tượng mà mặc dù với mọi khả năng có thể có ta cố gắng giữ cho những điều kiện cơ bản của các lần thí nghiệm về các hiện tượng ấy không thay đổi, nhưng ta vẫn không thể khẳng định được kết quả của từng thí nghiệm riêng lẻ sẽ như thế nào. Sở dĩ như vậy vì ngoài nhóm những điều kiện cơ bản ra còn có rất nhiều các nguyên nhân không lường trước được, gây tác động khác nhau trong...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suấtChương1.Biếncốngẫunhiênvàxácsuất Ch−¬ng 1 BiÕn cè ngÉu nhiªn vμ x¸c suÊt Trong thùc tÕ chóng ta th−êng gÆp nh÷ng hiÖn t−îng ngÉu nhiªn, tøc lµ nh÷ng hiÖnt−îng mµ mÆc dï víi mäi kh¶ n¨ng cã thÓ cã ta cè g¾ng gi÷ cho nh÷ng ®iÒu kiÖn c¬ b¶ncña c¸c lÇn thÝ nghiÖm vÒ c¸c hiÖn t−îng Êy kh«ng thay ®æi, nh−ng ta vÉn kh«ng thÓkh¼ng ®Þnh ®−îc kÕt qu¶ cña tõng thÝ nghiÖm riªng lÎ sÏ nh− thÕ nµo. Së dÜ nh− vËy v×ngoµi nhãm nh÷ng ®iÒu kiÖn c¬ b¶n ra cßn cã rÊt nhiÒu c¸c nguyªn nh©n kh«ng l−êngtr−íc ®−îc, g©y t¸c ®éng kh¸c nhau trong qu¸ tr×nh tiÕn hµnh c¸c lÇn thÝ nghiÖm, lµm chokÕt qu¶ cña c¸c lÇn thÝ nghiÖm cã thÓ thay ®æi tõ lÇn nµy sang lÇn kh¸c, khiÕn cho mäi cèg¾ng cña chóng ta ®Ó dù ®o¸n kÕt qu¶ chÝnh x¸c ë mçi lÇn thÝ nghiÖm riªng lÎ ®Òu v«hiÖu. Tuy nhiªn, trªn c¬ së quan s¸t rÊt nhiÒu hiÖn t−îng thùc tÕ ng−êi ta thÊy r»ng nÕu nh−ë mçi thÝ nghiÖm riªng lÎ sù xuÊt hiÖn cña mét sù kiÖn nµo ®ã cßn mang tÝnh chÊt ngÉunhiªn th× qua mét sè lín lÇn lÆp l¹i cïng thÝ nghiÖm Êy, kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn kh¸ch quancña sù kiÖn ®ã l¹i biÓu hiÖn kh¸ râ nÐt. V× vËy mét lý thuyÕt to¸n häc ®· ®−îc x©y dùngnªn nh»m nghiªn cøu mét c¸ch chÝnh x¸c tÝnh quy luËt cña c¸c hiÖn t−îng ngÉu nhiªn khita lÆp l¹i nhiÒu lÇn cïng c¸c ®iÒu kiÖn c¬ b¶n lµm n¶y sinh ra c¸c hiÖn t−îng ®ã, ®−îc gäilµ Lý thuyÕt x¸c suÊt. A- C¸c ®Þnh nghÜa vÒ x¸c suÊtI. PhÐp thö vμ kh«ng gian c¸c biÕn cè s¬ cÊp Trong lý thuyÕt x¸c suÊt, khi thùc hiÖn mét nhãm c¸c ®iÒu kiÖn c¬ b¶n nµo ®ã ng−êita gäi lµ thùc hiÖn mét phÐp thö. NÕu kÕt qu¶ cña phÐp thö mµ kh«ng thÓ kh¼ng ®Þnh tr−íc®−îc th× ta cã mét phÐp thö ngÉu nhiªn. Ta sÏ ký hiÖu phÐp thö ngÉu nhiªn lµ G. C¸c kÕt qu¶ cã thÓ x¶y ra trong phÐp thö G sao cho khi G ®−îc thùc hiÖn th× thÓ nµocòng cã mét trong chóng x¶y ra, chóng lo¹i trõ lÉn nhau vµ kh«ng thÓ ph©n chia thµnh 1LêVănPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQDChương1.Biếncốngẫunhiênvàxácsuấtnh÷ng kÕt qu¶ nhá h¬n th× c¸c kÕt qu¶ nh− vËy ®−îc gäi lµ c¸c biÕn cè s¬ cÊp. Nãi c¸chkh¸c mét biÕn cè s¬ cÊp lµ mét kÕt qu¶ tèi gi¶n cña phÐp thö. TËp hîp tÊt c¶ c¸c biÕn cè s¬ cÊp ω cña phÐp thö G ®−îc gäi lµ kh«ng gian c¸c biÕncè s¬ cÊp (kh«ng gian mÉu) víi ký hiÖu lµ Ω .ThÝ dô 1. NÕu phÐp thö lµ “tung mét ®ång xu” th× Ω = { S, N } trong ®ã: ω 1= S = kÕtqu¶ lµ sÊp; ω 2 = N = kÕt qu¶ lµ ngöa.ThÝ dô 2. NÕu phÐp thö lµ “tung mét h¹t xóc s¾c” th×: Ω ={1,2,3,4,5,6}trong ®ã : ω i= i = ®−îc mÆt i chÊm (i= 1,6 )ThÝ dô 3. NÕu phÐp thö lµ “tung cïng mét lóc hai ®ång xu” th× : Ω ={(S,S), (S,N), (N,S), (N,N)}ThÝ dô 4. NÕu phÐp thö lµ “Tung cïng mét lóc hai h¹t xóc s¾c” th×: Ω ={(x,y): x= 1,6 ;y= 1,6 }ThÝ dô 5. NÕu phÐp thö lµ tung mét ®ång xu cho tíi khi nµo ®−îc mÆt sÊp th× dõng th×: Ω = {S, NS, NNS, NNNS,...}ThÝ dô 6. NÕu phÐp thö lµ ®o kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm ch¹m cña viªn ®¹n tíi t©m bia víib¸n kÝnh cña bia lµ mét ®¬n vÞ ®é dµi th× Ω = [0,1[.NhËn xÐt :a. Sè l−îng c¸c phÇn tö cña Ω trong c¸c thÝ dô 1, 2, 3, 4 lµ h÷u h¹n.b. Sè l−îng c¸c phÇn tö cña Ω trong thÝ dô 5 lµ v« h¹n nh−ng ®Õm ®−îc (tøc lµ ta cã thÓ®¸nh sè ®−îc ω1 = S, ω 2 = NS, ω3 = NNS,....). C¸c tËp h÷u h¹n hay v« h¹n ®Õm ®−îc gäi lµ c¸c tËp h¬p rêi r¹c.c. Sè l−îng c¸c phÇn tö cña Ω trong thÝ dô 6 (sè c¸c ®iÓm cña ®o¹n [0,1[) lµ v« h¹nnh−ng ®Õm ®−îc. Trong tr−êng hîp nµy ta b¶o Ω cã lùc l−îng continum.II. - ®¹i sè c¸c biÕn cè1. BiÕn cè ngÉu nhiªn Mét biÕn cè ngÉu nhiªn A lµ mét tËp hîp con cña Ω 2LêVănPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQDChương1.BiếncốngẫunhiênvàxácsuấtThÝ dô 1: Gäi A lµ biÕn cè “®−îc mÆt cã sè chÊm lµ béi cña 3” khi tung h¹t xóc s¾c th×A={3,6} ⊂ Ω .Ghi chóa. KÕt qu¶ ω nµo cña G mµ lµm cho A x¶y ra th× kÕt qu¶ ®ã ®−îc gäi lµ kÕt qu¶ thuËn lîicho A. Nh− vËy biÕn cè A ë thÝ dô võa nªu cã hai kÕt qu¶ thuËn lîi.b. Mçi biÕn cè s¬ cÊp ω còng cã thÓ coi lµ mét biÕn cè ngÉu nhiªn { ω } (gåm mét phÇntö ).c. Ω ®−îc gäi lµ biÕn cè ch¾c ch¾n.d. TËp hîp trèng φ ®−îc gäi lµ biÕn cè kh«ng thÓ cã.C¸c kh¸i niÖm võa nªu cã thÓ minh häa trong h×nh sau A xx xx x ω Ω2. Mèi quan hÖ gi÷a c¸c biÕn cè Stone ®· chøng minh ®−îc r»ng: gi÷a c¸c tËp hîp vµ c¸c biÕn cè cã mét sù ®¼ng cÊu.V× vËy ta cã thÓ dïng mèi quan hÖ gi÷a c¸c tËp hîp ®Ó m« t¶ mèi quan hÖ gi÷a c¸c biÕncè. Cô thÓ:a. NÕu B ⊂ A th× biÕn cè B gäi lµ kÐo theo biÕn cè A. Nh− vËy c¸c phÇn tö ω cña Ωthuéc B còng sÏ thuéc A (H×nh 1.1). Nãi c¸ch kh¸c biÕn cè B x¶y ra còng lµm cho biÕn cèA x¶y ra. A Bx x x x Ω H×nh 1.1 3LêVănPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQDChương1.BiếncốngẫunhiênvàxácsuấtThÝ dô 2: Gäi B lµ biÕn cè “®−îc mÆt 3 chÊm” tøc lµ B = {3}.Khi ®ã B ⊂ A = {3, 6} = biÕn cè “®−îc mÆt cã sè chÊm lµ béi cña 3”.b. NÕu B ⊂ A vµ A ⊂ B th× A vµ B gäi lµ hai biÕn cè t−¬ng ®−¬ng vµ ®−îc ký hiÖu lµA=B.ThÝ dô 3: Gi¶ sö mçi chÊm ®−îc 5 ®iÓm nÕu A lµ biÕn cè “®−îc mÆt 6 chÊm” vµ B lµ biÕncè “ng−êi tung ®−îc 30 ®iÓm” th× A = B.c. NÕu B = Ω \ A th× B gäi lµ biÕn cè ®èi lËp cña A. Nh− vËy B sÏ x¶y ra khi A kh«ng x¶y *ra (H×nh 1.2) A ...