Chương 2: Phương trình phi tuyến

Mời các bạn cùng tham khảo nội dung tài liệu chương 2 "Phương trình phi tuyến" dưới đây để nắm bắt chi tiết các phương pháp giải phương trình fx=0 phức tạp tính gần đúng nghiệm của phương trình. Hy vọng đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 2: Phương trình phi tuyếnChöông 2PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁN2.1 ÑAËT BAØI TOAÙN Muïc ñích cuûa chöông naøy laø tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöôngtrình f(x) = 0 (2.1)vôùi f(x) laø haøm lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng hay môû naøo ñoù. Nghieäm cuûa phöông trình (2.1) laø giaù trò x sao cho f(x) = 0. Tronggiaùo trình naøy ta chæ xeùt nhöõng nghieäm ñôn coâ laäp. Veà maët hìnhhoïc, nghieäm cuûa phöông trình (2.1) laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøngcong y = f(x) vôùi truïc hoaønh. Khoaûng ñoùng [a, b] (ñoâi khi ta cuõng xeùtkhoaûng môû (a, b)) maø treân ñoù toàn taïi duy nhaát nghieäm cuûa phöôngtrình (2.1) ñöôïc goïi laø khoaûng caùch li nghieäm. Vì ta chæ xeùt nghieämñôn cuûa phöông trình (2.1), neân neáu haøm f(x) lieân tuïc treân khoaûngcaùch li nghieäm [a, b] thì f(a) · f(b) < 0. Thoâng thöôøng, ñeå tìm nghieämcuûa phöông trình (2.1) chuùng ta tieán haønh theo hai böôùc sau:Böôùc 1: Tìm taát caû caùc khoaûng caùch li nghieäm cuûa phöông trình (2.1).Böôùc 2: Trong töøng khoaûng caùch li nghieäm, tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình baèng moät phöông phaùp naøo ñoù vôùi sai soá cho tröôùc.16 PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁNÑònh lí 2.1. Neáu haøm f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a, b] vaø giaù trò cuûa haømtraùi daáu taïi hai ñaàu muùt thì phöông trình (2.1) coù nghieäm treân [a, b].Theâm vaøo ñoù, neáu haøm f(x) ñôn ñieäu thì nghieäm laø duy nhaát. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñònh liù laø: moät ñöôøng cong lieân tuïc noái haiñieåm ôû hai phía cuûa truïc hoaønh seõ caét truïc hoaønh ít nhaát taïi moätñieåm. Neáu ñöôøng cong laø ñôn ñieäu (taêng hoaëc giaûm) thì ñieåm caét laøduy nhaát. Chuùng ta coù theå tìm caùc khoaûng caùch li nghieäm cuûa moät phöôngtrình baèng nhieàu caùch vaø ñònh liù 2.1 laø moät coâng cuï höõu ích cho muïcñích naøy. Ví duï 2.1. Tìm caùc khoaûng caùch li nghieäm cuûa phöông trình f(x) = x3 − 3x + 1 = 0. Chuùng ta tính giaù trò cuûa haøm taïi moät soá ñieåm ñaëc bieät vaø laäp baûng giaù trò sau: x −2 −1 0 1 2 f(x) −1 3 1 −1 3 Töø baûng treân ta thaáy phöông trình coù nghieäm naèm trong caùc khoaûng khoâng giao nhau (-2, -1), (0, 1), (1, 2). Vì phöông trình baäc ba coù toái ña ba nghieäm, neân moãi ñoaïn treân chöùa duy nhaát moät nghieäm. Vaäy chuùng laø caùc khoaûng caùch li nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho. Ví duï 2.2. Xeùt phöông trình f(x) = x5 + x − 12 = 0. Ta coù f 0 (x) = 5x4 + 1 > 0 vôùi moïi x. Cho neân f(x) laø haøm ñôn ñieäu taêng. Ta cuõng coù f(1) < 0 vaø f(2) > 0, neân phöông trình chæ coù duy nhaát nghieäm naèm trong [1, 2]. Ví duï 2.3. Xeùt phöông trình f(x) = x2 − sin πx = 0. Chuyeån phöông trình veà daïng töông ñöông x2 = sin πx. Ta veõ ñoà thò cuûa hai haøm y = x2 vaø y = sin πx theo hình veõ döôùi ñaây. Töø hình veõ, ta nhaän thaáy phöông trình coù moät nghieäm x = 0 vaø moät nghieäm nöõa naèm trong ñoaïn [1/2, 1].2.2 Phöông phaùp chia ñoâi 17 Hình 2.1: Nghieäm cuûa phöông trình x2 − sin πx = 0 Coâng thöùc ñaùnh giaù sai soá toång quaùt cuûa nghieäm gaàn ñuùng cuûaphöông trình (2.1) ñöôïc theå hieän qua ñònh liù sau.Ñònh lí 2.2. Giaû söû haøm f(x) lieân tuïc treân [a, b], khaû vi trong (a, b).Neáu x∗ laø nghieäm gaàn ñuùng cuûa nghieäm chính xaùc x trong [a, b] vaø∀x ∈ [a, b], |f 0 (x)| > m > 0. Theá thì ta coù coâng thöùc ñaùnh giaù sai soátoång quaùt sau ñaây |f(x∗ )| |x∗ − x| 6 (2.2) m Ví duï 2.4. Xeùt phöông trình f(x) = x3 − 5x2 + 12 = 0 trong [−2, −1] coù nghieäm gaàn ñuùng x∗ = −1.37. Khi ñoù |f 0 (x)| = 3x2 − 10x > 13 = |f(−1.37)| m > 0, ∀x ∈ [−2, −1]. Do ñoù: |x − x∗ | 6 ≈ 0.0034. 132.2 PHÖÔNG PHAÙP CHIA ÑOÂI Xeùt phöông trình (2.1) coù nghieäm chính xaùc x trong khoaûng caùchli nghieäm [a, b] vaø f(a)f(b) < 0. Ñaët a0 = a, b0 = b, d0 = b0 − a0 = b − avaø x0 laø ñieåm giöõa cuûa ñoaïn [a0, b0]. Tính giaù trò f(x0 ). Neáu f(x0 ) = 0thì x0 chính laø nghieäm vaø quaù trình döøng laïi. Ngöôïc laïi ta xeùt daáucuûa f(x0 ). Neáu f(x0 )f(a0 ) < 0, ñaët a1 = a0, b1 = x0 . Neáu f(x0 )f(b0 ) < 0,ñaët a1 = x0, b1 = b0 . Nhö vaäy ta thu ñöôïc [a1, b1] ⊂ [a0, b0] vaø ñoä daøi ...