Chương 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu chương 3 "Hệ phương trình đại số tuyến tính" dưới đây để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu. Tài liệu trình bày các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính và tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 3: Hệ phương trình đại số tuyến tínhChöông 3HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁTUYEÁN TÍNH Trong chöông naøy chuùng ta neâu leân moät soá phöông phaùp duøng ñeågiaûi heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính Ax = b, (3.1)raát thöôøng gaëp trong caùc baøi toaùn khoa hoïc kó thuaät. Ta chæ xeùt heägoàm n phöông trình vôùi n aån. Do vaäy ma traän heä soá A laø ma traänvuoâng caáp n, vaø vectô nghieäm x cuõng nhö vectô töï do b laø caùc vectôcoät n chieàu thuoäc Rn. Ta luoân giaû thieát raèng det A 6= 0, vaø do ñoù baogiôø heä cuõng coù nghieäm duy nhaát x = A−1 b. Tuy nhieân vieäc tìm matraän nghòch ñaûo A−1 ñoâi khi coøn khoù khaên gaáp nhieàu laàn so vôùi vieäcgiaûi tröïc tieáp heä phöông trình xuaát phaùt. Döôùi ñaây chuùng ta seõ xeùtmoät soá phöông phaùp thöôøng duøng ñeå giaûi heä phöông trình (3.1).3.1 PHÖÔNG PHAÙP GAUSS Tröôùc khi trình baøy phöông phaùp Gauss, chuùng ta xeùt moät soátröôøng hôïp ñôn giaûn khi ma traän heä soá A cuûa heä phöông trình (3.1)coù daïng ñaët bieät.36 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH Tröôøng hôïp ñôn giaûn nhaát laø tröôøng hôïp heä phöông trình coù matraän heä soá coù daïng ñöôøng cheùo:   a11 0 ··· 0  0 a22 ··· 0  A=  ···  ··· ··· ···  0 0 ··· annKhi aáy heä töông ñöông vôùi n phöông trình baäc nhaát aii xi = bi, ∀i = 1, n.Vì det A = a11a22 · · · ann 6= 0 neân aii 6= 0, ∀i. Vaø do ñoù nghieäm cuûa heäcoù theå ñöôïc vieát döôùi daïng: bi xi = , i = 1, 2, 3, · · · , n aii Tröôøng hôïp thöù hai khi ma traän heä soá A coù daïng tam giaùc treân:   a11 a12 ··· a1n  0 a22 ··· a2n  A=  ···  ··· ··· ···  0 0 ··· annVôùi giaû thieát det A 6= 0, ta coù aii 6= 0, ∀i = 1, n, vaø nghieäm cuûa heä ñöôïccho bôûi coâng thöùc:   bn   xn =  ann   1  X n (3.2)   akj xj  ,  xk = akk bk −  k = n − 1, · · · , 1 j=k+1 Cuoái cuøng khi ma traän heä soá A coù daïng tam giaùc döôùi:   a11 0 ··· 0  a21 a22 ··· 0  A=  ···  ··· ··· ···  an1 an2 ··· ann3.1 Phöông phaùp Gauss 37Töông töï det A 6= 0 ⇒ aii 6= 0, ∀i = 1, n, vaø nghieäm cuûa heä coù daïng:   b1   x1 =  a11   1  X k−1 (3.3)   akj xj  ,  xk = akk bk −  k = 2, · · · , n j=1 Thuaät toaùn giaûi heä phöông trình vôùi ma traän tam giaùc ñöôïc theåhieän trong Chöông trình 3.1 vaø 3.2. Ñoái soá cuûa chöông trình goàm: Nlaø soá phöông trình vaø soá aån, a laø ma traän heä soá caáp N × (N + 1), coätthöù N + 1 laø vectô töï do. Keát quaû traû veà cuûa chöông trình laø vectônghieäm x .Chöông trình 3.1. - c3upper : Ma traän heä soá tam giaùc treân.function [x] = c3upper(N,a)if nargin < 2, error(Haøm coù toái thieåu 2 ñoái soá);end;x(N)=a(N,N+1)/a(N,N);for k=N-1:-1:1 sum = 0; for j=k+1:N sum=sum+a(k,j)*x(j); end; x(k)=(a(k,N+1)-sum)/a(k,k);end;Chöông trình 3.2. - c3lower : Ma traän heä soá tam giaùc döôùi.function [x] = c3lower(N,a)if nargin < 2, error(Haøm coù toái thieåu 2 ñoái soá);end;x(1)=a(1,N+1)/a(1,1);for k=2:N sum = 0;38 ...