Chương 3: Phép tính vi phân của hàm một biến

Tham khảo tài liệu chương 3: phép tính vi phân của hàm một biến, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 3: Phép tính vi phân của hàm một biếnChương 3PHÉP TÍNH VI PHÂN C A HÀMM T BI N3.1 Dãy s và gi i h n c a dãy s3.1.1 Đ nh nghĩa gi i h n c a dãy sĐ nh nghĩa 3.1. Dãy s th c là m t ánh x a: N→R n → a(n) = an Khi đó ta đư c m t dãy các s th c a1 , a2 , ...an , ... + Kí hi u là {an }. + an g i là s h ng t ng quát th n c a dãy. Dãy s hoàn toàn đư c xác đ nh khi bi t s h ngt ng quát c a nó. - Dãy con. Cho dãy s th c an . Gi s n1 < n2 < ...nk < ... là m t dãy tăng th c s các s t nhiên thì dãynn1 , an2 , ..., ank , ... là dãy con c a dãy {an } và vi t là {ank } ⊂ {an } .Đ nh nghĩa 3.2. Ta nói r ng: a = lim an ⇔ ∀ε > 0 ∃N ∀n > N : |an − a| < ε n→∞ - Khi đó ta nói dãy {an } h i t đ n a. - Dãy không h i t g i là dãy phân kỳ.Đ nh lý 3.1. Gi i h n c a dãy s n u có là duy nh t. Ch ng minh. Gi s lim an = a . N u có s b = a cũng là gi i h n c a dãy {an } . Khi đó v i n→∞ |b − a| > 0 , thì: ∃N1 ∀n > N1 : |an − a| < ε, ∃N2 ∀n > N2 : |an − b| < εε= 2 Ch n N0 = max{N1 , N2 } , thì v i m i n > N0 ta có: |a − b| = |a − an + an − b| < |a − an | + |an − b| < ε + ε = 2.ε = |a − b|Mâu thu n ch ng t đi u gi s là sai, đ nh lý đư c ch ng minh.Đ nh lý 3.2. N u dãy s th c {an } có gi i h n là a , thì m i dãy con c a nó cũng có gi i h n là a.Ví d 3.1. Xét dãy {an } sao cho an = a , v i m i n , ta có lim an = a. Th t v y, n→∞ ∀ε > 0 ∃N = 0 ∀n > N : |an − a| = |a − a| = 0 < εT c là lim an = a n→∞ 21http://maths3.wordpress.com 1 1Ví d 3.2. Gi i h n lim = 0. Th t v y, v i m i ε > 0 ch n N = + 1, thì v i m i n ta có: n ε n→∞ 1 1 1 |an − 0| = − 0 = < n n N.Ví d 3.3. Gi i h n nlim q n = 0 n u |q | < 1. Th t v y →∞ - N u q = 0 , thì nlim q n = 0 (Theo ví d 1). →∞ ” — - N u q = 0, thì ∀ε > 0 ∃N = log|q| ε + 1 ∀n > N : |an − 0| = |q n − 0| < ε.Ví d 3.4. Gi i h n lim (−1)n không t n t i. n→∞ Cách 1. Th t v y gi s ngư c l i t n t i gi i h n lim (−1)n . Khi đó: n→∞ |(−1)n − a| < 1 v i ε = 1 ∃N ∀n > N : Khi n ch n và n l , ta có:|1 − a| < 1 và |−1 − a| < 1 Ta đi đ n mâu thu n 2 = |1 + 1| = |1 − a + a + 1| ≤ |1 − a| + |1 + a| < 1 + 1 = 2. Cách 2. Xét hai dãy con v i các ch s ch n và l không cùng m t gi i h n.Đ nh nghĩa 3.3. Dãy {an } đư c g i là b ch n trên, b ch n dư i n u t p A = {an : n ∈ N} có tínhch t tương ng.Đ nh lý 3.3. Dãy s {an } h i t thì nó b ch n. lim an = a. Khi đó v i ε = 1 ∃N0 ∀n > N0 : |an − a| < 1. Ch ng minh. Gi s n→∞ Do đó |an | < a + 1, ∀n > N0 Ch n M = max {|a1 | , |a2 | , ..., |aN0 | , |a| + 1}, thì rõ ràng −M < an < M, ∀n = 1, 2, ... M r ng khái ni m gi i h n c a dãy s . Dãy s {an } g i là có gi i h n +∞ vi t là lim an = +∞ , n u: ∀M > 0 ∃N ∀n > N : an > M. n→∞ Dãy s {an } g i là có gi i h n −∞ vi t là nlim an = −∞ , n u: ∀M > 0 ∃N ∀n > N : an < −M. →∞ Trong trư ng h p này ta không nói các dãy h i t mà g i chúng là các dãy phân kỳ đ n ±∞ . √ √Ví d 3.5. Xét dãy {an = n} , ta có: nlim n = +∞ . Th t v y, ∀M > 0 ∃N = M 2 ∀n > N : √ →∞ √ √an = n > N = M 2 = M √Ví d 3.6. Xét dãy {an = 1 − n2 } , ta có: lim 1 − n2 = −∞. Th t v y ∀M > 0 ∃N = 1 + M ∀n > √ n→∞N : an = 1 − n2 < 1 − ( 1 + M )2 = −M3.1.2 Đ nh lí v gi i h n c a dãy s 1. Đ nh lýĐ nh lý 3.4. N u các dãy an và bn h i t và nlim an = a, nlim bn = b thì các dãy {an ± bn }, {an .bn } ...