Chương 6: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên học toán tốt để ôn thi đạt kết quả cao
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 6: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chương 6PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân là phương trình ch a các bi n s đ c l p, hàm ph i tìm ( t c là các n) vàcác đ o hàm c a nó. N u trong phương trình vi phân (ptvp) ch có hàm m t bi n thì phương trình đư c g i là phươngtrình vi phân thư ng. N u hàm ph i tìm là hàm nhi u bi n s thì ptvp đư c g i là phương trình vi phân đ o hàm riêng.Ví d 6.1. Các phương trình ysinx + y cosx − 1 = 0 y 2 − 2y 4 = 0 y 2 − 4y = ex − xlà các phương trình vi phân thư ng. Các phương trình ∂ 2z ∂ 2z + =0 ∂x2 ∂y 2 ∂ 2u ∂ 2u − a2 2 = 0 ∂x2 ∂ylà các phương trình vi phân đ o hàm riêng Chú ý: - Ta ch xét phương trình vi phân thư ng. - Ta g i c p cao nh t c a các đ o hàm có m t trong phương trình vi phân là c p cao nh t c aphương trình vi phân đó.6.1 Phương trình vi phân c p 16.1.1 Đ nh nghĩa và các khái ni m cơ b n a) Đ nh nghĩaĐ nh nghĩa 6.1. Phương trình vi phân c p 1 là pt có d ng: F (x, y, y ) = 0 (6.1) Trong đó F là hàm c a 3 bi n đ c l p; x: là bi n đ c l p ; y = y (x): hàm ph i tìm; y là đ o hàm c a y. dy Ngoài ra ngư i ta còn có th vi t phương trình vi phân c p 1 có d ng: y = f (x, y ) ho c = dxf (x; y ) v i f (x; y ) là hàm c a 2 bi n đ c l p. 63http://maths3.wordpress.com b. Nghi m c a phương trình vi phân Là 1 hàm y = y (x) ho c ϕ(x; y ) = 0 xác đ nh trong kho ng (a; b) là nghi m c a phương trình(6.1). N u thay th vào phương trình vi phân (6.1) ta có đ ng nh t th c. Khi đó đ th c a y = y (x)đư c g i là đư ng cong tích phân c a phương trình vi phân.Ví d 6.2. Phương trình y = 2x là ptvp c p 1, có 1 nghi m y = x2 . Ngoài ra: y = x2 + C, C =Const cũng là nghi m c a phương trình vi phân trên. c. Nghi m t ng quát c a ptvp Là hàm s có d ng y = ϕ(x; C ) ho c ϕ(x; y ; C ) = 0 (C- h ng s ) tho mãn đi u ki n: i) Nó tho mãn phương trình m i giá tr c a C ii) T i m i đi m (xo ; yo ) ta tìm đư c 1 giá tr C0 sao cho hàm s y = ϕ(x; C0 ) tho mãn đi u ki ny |x=x0 = y0 . d. Nghi m riêng c a ptvp Hàm s y = ϕ(x; C0 ) ng v i giá tr C0 t i đi m (x0 ; y0 ) g i là nghi m riêng c a phương trình.Nó bi u di n m t đư ng cong đi qua đi m (x0 ; y0 ).Ví d 6.3. Phương trình y = y có nghi m t ng quát ln y = x + C v i y = 0 nghi m riêng t i (1;1) là ln y = x − 1 nghi m kì d y = 0. e. Bài toán Cauchy Bài toán tìm nghi m c a phương trình (6.1) tho mãn đi u ki n y (x0 ) = y0 (t c là nghi m riêng)c a phương trình g i là bài toán Cauchy. Đi u ki n y (x0 ) = y0 còn đư c vi t dư i d ng y |x=x0 = y0g i là đi u ki n ban đ u.Ví d 6.4. Gi i ptvp y = cos x th a mãn đi u ki n y |x=0 = 1. L i gi i. R y = cos xdx + C hay y = sin x + C (C = const), vì y (0) = 1 ⇒ 1 = sin 0 + C ⇒ C = 1, do đó nghi m riêng mu n tìm là y = sin x + 1. f. Đ nh lí t n t i và duy nh t nghi mĐ nh lý 6.1. Cho phương trình vi phân c p 1: y = f (x; y ). N u hàm f (x; y ) liên t c trong m tmi n D ⊂ R2 ch a đi m (x0 , y0 ) thì t n t i m t nghi m y = y (x) c a phương trình th a mãn đi u ∂fki n ban đ u y = y |x=x0 = y0 . Ngoài ra, n u liên t c thì nghi m nói trên là duy nh t. ∂y6.1.2 Các phương trình vi phân c p 1 cơ b n 1. Phương trình v i bi n s phân ly a. Đ nh nghĩaĐ nh nghĩa 6.2. Là phương trình có d ng: f1 (x)dx + f2 (y )dy = 0 (6.2)ho c f1 (x) + f2 (y ).y = 0 b. Cách gi i R R L y tích phân hai v phương trình (6.2) ta có: f1 (x)dx + f2 (y )dy = C c. Ví d 64http://maths3.wordpress.com x3 y 2Ví d 6.5. x2 dx + ydy = 0 ⇔ + =C 3 2Ví d 6.6. y = (1 + y 2 ).ex ⇔ y = tan(ex + C ) Chú ý: Phương trình vi phân có d ng: f1 (x)g1 (y )dx + f2 (x)g2 (y )dy = 0 (6.2 ) g i là phương trìnhcó th phân ly bi n . f1 (x) g2 (y ) N u f2 (x).g1 (y ) = 0, chia c hai v c a (6.2 ) cho f2 (x).g1 (y ) ta có: dx + dy = 0 là f2 (x) g1 (y )phương trình bi n s phân ly. N u g1 (y ) = 0 thì y = b là m t nghi m kỳ d N u f2 (x) = 0 thì x = a là m t nghi m kỳ dVí d 6.7. Gi i phương trình vi phân: (y 2 − 1)dx − y (x2 + 1)dy = 0 Phương trình trên có: 1 + Nghi m t ng quát là: arctgx = ln |y 2 − 1| + C 2 + Nghi m kỳ d y = ±1 2. Phương trình thu n nh t a. Đ nh nghĩaĐ nh nghĩa 6.3. Hàm f (x, y ) g i là thu n nh t c p n n u ∀x, y và ∀t > 0 ta có: M (tx; ty ) =tn M (x; y ). N u hàm s M (x, y ) và N (x, y ) thu n nh t c p n thì phương trình vi phân: M (x; y )dx + N (x; y )dy = 0 (6.3)g i là ph ...