Chương 5 - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y)- Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y’(x) là đạo hàm của nó - Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho hằng số c một giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 5 - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Đại học Quốc gia TP.HCMTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1 Chương 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 11.Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng F(x, y, y’) = 0 y’ = f(x,y) hay x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết Ở đây: y’(x) là đạo hàm của nó và • Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp y=φ(x,c) 1 là hàm Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1• Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát c một giá trị cụ thể được gọi là khi cho hằng số nghiệm riêng.• Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 nhưng nghiệm này không nhận được từ nghiệm tổng c lấy bất kỳ giá trị nào được gọi là quát cho dù nghiệm kỳ dị Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1VD: Xét phương trình vi phân cấp 1 y = 1 − y 2 (*) dy y = = 1 − y 2Ta có: dx dy ⇒ = dx ( ĐK :y ≠ ± 1) 1− y 2 dy ⇒∫ = x + c ⇒ arcsin y = x + c 1− y 2 Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1 ⇒ y = sin( x + c) Đây là nghiệm tổng quát y=±1 Trường hợp: thỏa phương trình (*) nên cũng là nghiệm của phương trình vi phân này nhưng chúng không nhận được từ nghiệm tổng quát nên là nghiệm kỳ dị2. Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của y’=f(x,y) thỏa điều phương trình vi phân cấp 1 y(xo) = yo . kiện ban đầu Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1 y y = y(1) = 2 thỏaVD: Xét bài toán Cauchy x dy yTa có: y = = dx x dy dx ⇒= ĐK :y ≠ 0 y x dy dx ⇒ ln y = ln x + c ⇒∫ =∫ y x ⇒ y = c. xTừ điều kiện đầu y(1)=2 ta giải được c=2Vậy nghiệm của bài toán thỏa điều kiện đầuy(1)=2 là y=2.x Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1Nhận xét: Nghiệm của mọi bài toán Cauchy đều lànghiệm riêng.3 Các loại phương trình vi phân cấp 13.1 Phương trình tách biếna. Dạng: f(x)dx + g(y)dy = 0b. Cách giải: Bằng cách lấy tích phân ta được nghiệm tổng quát của phương trình là: ∫ f ( x)dx + ∫ g ( y )dy = c Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1VD: Giải phương trình vi phân xdx + ydy = 0 ∫ xdx + ∫ ydy = cTa có: 2 x + y =c 2 ⇒ 22 ⇒ x + y = 2c 2 2 là nghiệm của phương trình. Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1c. Một số phương trình vi phân cấp 1 có thể đưa về dạng tách biến∗ Phương trình dạng: y’=f(y) • Nếu f(y) ≠ 0 thì phương trình trên đưa về dạng tách biến: dy = dx f ( y) • Nếu f(y) = 0 y=b y=b có nghiệm thì là nghiệm riêng của phương trình. Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1VD: Tìm nghiệm của phương trình − 1− y 2 1 )= 1 y = y( thỏa điều kiện y 2 2 1− y 2 dy y = = − Ta có: dx y y ⇒− dy = dx ( ĐK : y ≠ ±1) 1− y 2 y ⇒ ∫− dy = ∫ dx 1− y 2 Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1 ⇒ 1− y = x + c2 y( 1 ) = 1Từ điều kiện đầu 2 2 c=0ta giải được 1− y = x 2Vậy nghiệm của bài toán là y = ±1 khôngTrường hợp: thỏa điều kiện đầunên ta loại nghiệm này Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1∗ Phương trình dạng: f1 ( x) . g1 ( y )dx + f 2 ( x) . g 2 ( y )dy = 0 g1 ( y ) . f 2 ( x) ≠ 0 • Nếu ...