Chương 6: Giải gần đúng phương trình vi phân

Bài toán Côsi : là bài toán dạng phương trình vi phân vớiđiều kiện bổ sung (điều kiện ban đầu) đã cho tại không quámột điểm.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 6: Giải gần đúng phương trình vi phân Chương 6 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNI. Mở đầu. Các bài toán thường gặp có thể 2 loại:* Bài toán Côsi : là bài toán dạng phương trình vi phân vớiđiều kiện bổ sung (điều kiện ban đầu) đã cho t ại không quámột điểm.Ví dụ: Cho phương trình vi phân cấp 1: y’ = 2x + 1; (a) - Nghiệm tổng quát : y = x2 + x + C; (b)C - hằng số tích phân, phụ thuộc điều kiện ban đầu - Mỗi giá trị của C 1 nghiệm xác định. - Xác định C cần biết thêm 1 điều kiện ban đầu, ví d ụ y(x=1) = 2; (c) (b) C = 0; Nghiệm của (a) là y = x2 + x thoả mãn (a) và (c).Bài toán tìm hàm số y(x) thoả mãn p/t vi phân (a) và đi ều ki ệnban đầu (c) bài toán Côsi.Bài toán Côsi đối với phương trình vi phân cấp 1: - Cho khoảng [x0, X] - Tìm hàm số y = y(x) xác định trên [x0, X] thoả mãn: y’ = f(x,y); x0 ≤ x ≤ X (1) y(x0) = η ; (2) Trong đó f(x, y) – hàm đã biết; η - số thực cho trước ( 2 ) - điều kiện Côsi hay điều kiện ban đầu.* Bài toán biên. Bài toán giải phương trình vi phân với điều kiện bổ sung đ ược cho tại nhiều hơn 1 điểm. - Cho khoảng [a, b]; - Tìm hàm y = y(x) trên [a, b] thoả mãn: y’ + p(x)y’ +q(x,y) = f(x); a ≤ x ≤ b (3) với điều kiện y(a) = α; y(b) = β (4)Trong nhiều trường hợp giải gần đúng .II. Giải bài toán Côsi. x0 ≤ x ≤ X 1. Phương pháp chuỗi Taylo. y’ = f(x, y); y(x0) = η ; Khai triển nghiệm y(x) tại x = x0: y ( k ) ( x0 ) y ( x0 ) y ( x0 ) ( x − x0 ) 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( x − x0 ) k + ⋅ ⋅ ⋅ ( 5 )y ( x) = y ( x0 ) + ( x − x0 ) + 1! 2! k! y ( x0 ) = f ( x0 , y ( x0 )) = f ( x0 ,η ); (6) ∂f ∂f y = ( y ) = f ( x, y ( x) ) = ( x, y ( x) ) + ( x, y ( x) ) ⋅ y ( x); ∂x ∂y ∂f ∂f y ( x0 ) = ( x0 ,η ) + ( x0 ,η ) ⋅ f ( x0 ,η ); (7) ∂x ∂y Tương tự chuỗi ( 5 ). y’” y(3)(x0) Đã CM được rằng: Với x − x0 đủ bé, chuỗi ( 5 ) nghiệm của ( 1 ), ( 2 )tổng Sn(x) của n số hạng đầu của ( 5 ) nghi ệm x ấp x ỉ c ủa( 1 ) , ( 2 ); n càng lớn độ chính xác càng cao. Ví dụ 1. Tìm nghiệm xấp xỉ của: y y = ; ( a ) với điều kiện ban đầu: y(1) = 2; (b) x+ y Sử dụng chuỗi Taylo; x0 = 1; y(x0) = η = 2. 2 2 y (1) = =; 1+ 2 3 ′  y  ( x + y ) y′ − y ( x + y )′ xy′ − yx y′′ =  x+ y = = ;  2 2 ( x + y) ( x + y)   2 1⋅ − 2 4 y′′(1) = 3 2 = − ; (1 + 2) 27 2 2 2 y ( x) = 2 + ( x − 1) − ( x − 1) + ( x − 1)3 + ⋅ ⋅ ⋅; 2 3 27 81Tính y(x) tại x =1,1: 1,1 – 1 =0,1 b ỏ qua các s ố h ạng cu ối: 2 2 2 y (1,1) = 2 + ⋅ 0,1 − (0,1) + (0,1)3 ≈ 2,06584; 2 3 27 81Ví dụ 2. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình vi phân: y’ = 2x – 1 + y2; (a) với điều kiện ban đầu: y(0) = 1. (b) - x0 = 0; y0 = 1; y’(0) = 2.0 – 1 + 12 = 0. - Đạo hàm ( a ): y′′ = 2 + 2 yy′; (c) y′′(0) = 2 + 2.1.0 = 2; y′′′ = 2 y′2 + 2 yy′′; - Đạo hàm ( c ): y′′′(0) = 2.0 + 2.1.2 = 4; y ( 4 ) = 6 y′y′′ + 2 yy′′′ = 6.0.2 + 2.1.4 = 8; - Tính tiếp: y ( k ) ( x0 ) y ( x0 ) y ( x0 ) ( x − x0 ) 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( x − x0 ) k + ⋅ ⋅ ⋅ ( 5 )y ( x) = y ( x0 ) + ( x − x0 ) + 1! 2! 2 k! ...