Chương 7: Tích phân đường và tích phân mặt

Chương 7: Tích phân đường và tích phân mặt trình bày các nội dung về tích phân đường, tích phân mặt phẳng, lý thuyết trường. Hi vọng tài liệu sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập cũng như làm việc của mình. Để nắm vững nội dung chi tiết mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 7: Tích phân đường và tích phân mặtChương 7Tích phân đườngvà tích phân mặt7.1. Tích phân đường .......................................................................................................... 2337.1.1. Tích phân đường của hàm số........................................................................................... 2337.1.2. Ý nghĩa của tích phân đường loại I ................................................................................. 2367.1.3. Tích phân đường của hàm vectơ...................................................................................... 2377.1.4. Ý nghĩa vật lý của tích phân đường loại II...................................................................... 2397.1.5. Định lý Green................................................................................................................... 2407.1.6. Tích phân không phụ thuộc đường.................................................................................. 2427.2. Tích phân mặt............................................................................................................... 2457.2.1. Tích phân mặt của hàm số ............................................................................................... 2457.2.2. Tích phân mặt của hàm vectơ.......................................................................................... 2467.2.3. Định lý Ostrogradski........................................................................................................ 2497.2.4. Định lý Stokes.................................................................................................................. 2517.3. Lý thuyết trường ............................................................................................................ 2537.3.1. Khái niệm về trường ........................................................................................................ 2537.3.2. Gradient và luật bảo toàn................................................................................................. 2557.3.3. Phân tán và định lý Ostrogradski..................................................................................... 2567.3.4. Xoáy và định lý Stokes .................................................................................................... 2577.1. Tích phân đường7.1.1. Tích phân đường của hàm sốGiả sử C là đường cong trơn trong R2 với điểm đầu A và điểm cuối B, f làhàm số xác định trên C.Phân hoạch T của đường cong C là một họ hữu hạn điểm trên đường congA0 = A, A1 ,..., An = B , nối tiếp nhau (theo nghĩa khúc AAi là một phần củakhúc AAi +1 , với mọi i=1,2,...,n-1). Ký hiệu ∆sk là độ dài đoạn cong Ak −1 Ak và δT234Giải tích các hàm nhiều biếnlà đường kính phân hoạch, tức là số lớn nhất trong các số ∆sk , k = 1,..., n . Chọnck ( xk , yk ) ∈ Ak −1 Ak và xét tổngnσT = ∑ f ( xk , yk )∆sk .k =1Nếu như tổng σT có giới hạn khi δT → 0 và không phụ thuộc vào việc chọn cácđiểm ck thì giới hạn đó gọi là tích phân đường của hàm f (hay còn gọi là tíchphân đường loại I của f ) theo C và ký hiệu∫ f ( x, y)ds = lim σT .δT →0CMột số tính chất suy trực tiếp từ định nghĩa:•Nếu tồn tại∫f ( x, y ) ds thìC•Nếu tồn tại∫∫ αf ( x, y)ds = α ∫Cf1 ( x, y )ds vàC∫f 2 ( x, y )ds thì tồn tạiCCCKhi C là hợp của C1 và C2 và ∫ f1 ( x, y )ds ,C1∫f1 ( x, y )ds tồn tại, thìC2∫f ( x, y ) ds + ∫ f ( x, y )ds .C1f ( x, y ) ds =C•C2Việc lấy C = AB hay C = BA không ảnh hưởng tới tích phân, nghĩa là∫f ( x, y )ds = ∫ f ( x, y )ds .AB•vàf1 ( x, y )ds + ∫ f 2 ( x, y )ds .C∫∫ ( f1 + f 2 )dsC∫ ( f1 ( x, y) + f 2 ( x, y))ds = ∫•f ( x, y )ds với mọi α ∈R.CBA∫Nếu f ( x, y ) ≥ 0 trên C thìf ( x, y )ds ≥ 0 .C•∫f ( x, y )ds ≤ ∫ f ( x, y ) ds .C•CTồn tại α ∈ [ inf( x , y )∈Cf ( x, y ), sup f ( x, y )] sao cho( x , y )∈C∫f ( x, y )ds = αl (C ) ,Ctrong đó l (C ) là độ dài của C.Để tính tích phân đường loại I chúng ta xét phương trình tham số của C theotham số tự nhiênx = x( s ) ,y = y ( s ) , 0 ≤ s ≤ l (C ) .235Chương 7. Tích phân đường và tích phân mặtPhân hoạch T của C bởi A0 = A, A1 ,..., An = B sinh ra phân hoạch tương ứng của[0, l (C )] bởi 0 = s0 < s1... < sn = l (C ) . Điểm ck ∈ Ak −1 Ak ứng với τk ∈ [ sk −1sk ] .Khi ấynσT = ∑ f ( x( τk ), y (τk ))∆sk .k =1Qua giới hạn tổng trên khi δT → 0 ta thu được∫f ( x, y ) ds = ∫ f ( x( s ), y ( s ))ds .CCNếu C được cho bởi phương trình tham số t bất kỳx = x(t ) ,y = y (t ) , a ≤ t ≤ b ,thì như ta đã biết ds = x 2 (t ) + y 2 (t )dt , do đób∫f ( x, y )ds =∫f ( x(t ), y (t )) x 2 (t ) + y 2 (t ) dt .aCNhận xét. Hoàn toàn tương tự như trên, nếu C là đường cong không gian cho bởiphương trình tham số x = x(t ) , y = y (t ) , z = z (t ) , a ≤ t ≤ b , thì tích phân đườngcủa hàm f trên C được tính theo công thứcb∫f ( x, y , z )ds =C∫f ( x(t ), y (t ), z (t )) x 2 (t ) + y 2 (t ) + z 2 (t )dt .aThí dụ1) Cho C là đoạn parabol y = x 2 giữa A = (0,0) và B = (1,1). Tính ∫ xyds .C2Giải. Phương trình tham số của C là x = t , y = t , 0 ≤ t ≤ 1 . Vậy1∫Cxyds = ∫ t 3 1 + 4t 2 dt = 1 .202) Cho C là đường cong trong không gian x = sin 2t , y = sin t cos t , z = cos t0 ≤ t ≤ π / 2 . Tính∫ zds .CGiải. Áp dụng công thức trong nhận xét ta cóπ2∫zds= ∫ cos t 4sin 2 t cos 2 t + (cos 2 t − sin 2 t ) 2 + sin 2 tdt0C1= ∫ 1 + u 2 du = 1 2 − 1 ln( 2 −1).220236Giải tích các hàm nhiều biến7.1.2. Ý nghĩa của tích phân đường loại IÝ nghĩa hình họcGiả sử C là đường cong phẳng trong mặtphẳng tọa độ Oxy, f là hàm số biến x và y,nhận giá trị không âm. Khi ấy, ta suy ra ngaytừ định nghĩa là tích phân đường của f theo Clà diện tích miền thẳng đứng giới hạn bởi C vàđường cong không gian xác định như sauzf ( x, y)xy{( x, y, f ( x, y )) : ( x, y ) ∈ C} .Ý nghĩa cơ ...