Chuyên đề 2 : Đạo hàm- nguyên hàm- tích phân

Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề 2 : Đạo hàm- nguyên hàm- tích phânTài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT Chuyên đề 2 : PHẦN 1 : ĐẠO HÀMA). TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1). Định nghĩa: ∆y f( xo + ∆x) − f( xo ) f′( xo ) = lim = lim ∆x→ ∆ 0 x ∆x→0 ∆x 2). Các quy tắc tính đạo hàm: a). Đạo hàm một tổng, hiệu: ( u1 ±u2 ±L ±un ) ′ =u1 ±u′ ±L ±un ′ 2 ′ b). Đạo hàm một tích: ( u.v) ′ = u′.v + u.v′ * Trường hợp đặc biệt: v = k ( k là hằng số) ta được: ( k.u) ′ = k.u′  u ′ u′v − u.v′ c). Đạo hàm một thương:   = ( v ≠ 0)  v v2 * Trường hợp đặc biệt: u = 1 ta được:  1 ′ v′   = − 2 ( v≠ 0)  v v 3). Các công thức tính đạo hàm: u′ ( u ) ′ = nu n n−1 u′ ( n∈ ¥ * ) ( cot gu) ′ = − sin2 u ( u ≠ kπ ) ( u) ′ = 2u′u ( u > 0) ( e ) ′ = e u′ u u ( sinu) ′ = cosu.u′ ( a ) ′ = a lnau′ ( 0 < a ≠ 1) u u u′ ( cosu) ′ = − sinuu′ . ( lnu) ′ = ( u > 0) u u′  π  u′ ( t )′ = gu  u ≠ + kπ  ( loga u) ′ = ( 0 < a ≠ 1; u > 0 ) 2 cos u  2  ulna 7 Hội đồng bộ môn Toán - THPTTài liệu tham khảo ôn tập TN.THPTB). BÀI TẬP:  Ghi nhớ: Để làm các bài toán về giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức trong đó có chứa biểu thức F ( x, y, y′, y′′, y′′′,...) , với y = f( x) là hàm số cho trước, ta thực hiện các bước sau: • Tìm tập xác định của hàm số y = f( x) • Tính y′, y′′, y′′′,K (có khi ta phải rút gọn hàm số y = f( x) trước, sau đó mới tính đạo hàm). • Thay y′, y′′, y′′′,K vừa tìm được vào biểu thức F , tiếp theo thực hiện theo yêu cầu của từng bài toán. x ( x − 1) . Giải phương trình y + xy′ = 0 . 2 Bài 1: Cho hàm số y = 2 Bài 2: Cho hàm số y = x2ex . Chứng minh đẳng thức: xy′ = ( x + 2 ) y. x Bài 3: Cho hàm số y= cos2 . Chứng minh đẳng thức: ycosx − y′ sin x = y. 2 Bài 4: Cho hàm số y = ex sin x . Chứng minh rằng: 2 y′ − 2 y′′ + y′′′ = 0 . Bài 5: Cho hàm số y = ( x − 1) cosx. 2 Hãy tìm các giá trị của x sao cho: ( x − 1) ( y + y′′ ) − y′ = 0 Bài 6: Cho hàm số y = cos4 x − sin4 x. a. Chứng minh rằng: y′ + 2 sin2 x = 0 . b. Giải phương trình 2 y + y′ = 0 . Bài 7: Cho hàm số y = ln2 x . Giải bất phương trình y + xy′ − x2 y′′ ≤ 3 Bài 8: Cho hàm số y = e− x ( x + 1) . 2 Tìm các giá trị của x sao cho: 2 y+ y′+ y′′+ y′′′ − 1 = 0 Bài 9: Cho hàm số y = lne x + 1  .  x 2  ( ) 8 Hội đồng bộ môn Toán - THPTTài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT ( a. Giải phương trình y′ + x + 1 y′′ = 0 . 2 ) b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y′ . Bài 10: Cho hàm số y = xe− x . Chứng minh bất đẳng thức sau: y + y′′′ − y′ − y′′ > 0, ∀x∈ ¡ . 1 2 Bài 11: Cho hai hàm số: f( x) = cos2 xcos x; g( x) = sin 2 x + sin2 x . 2 2 a. Tính f′ ( x) , g′ ( x) . b. Chứng minh rằng: f′ ( x) + g′ ( x) = 0 . Bài 12: Cho hàm số y = f( x) = t 3 xt 2 xt . g . g . gx Chứng minh rằng: f′ ( x) = 3t 2 3x − 2t 2 2 x − t 2 x. g g g 9 Hội đồng bộ môn Toán - THPTTài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT ...