CHUYÊN ĐỀ 24: NGUYÊN LÝ DIRICHLET VỚI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ HÌNH HỌC

Giới thiệu nguyên Tắùc Dirichlet:Nguyên tắc Dirichlet là một định lý có thể chứng minh dễ dàng bằng phản chứng đã được nhà toán học Đức Dirichlet (1805-1859) áp dụng để chứng minh nhiều định lý toán học.Nguyên tắc Dirichlet thường được phát biểu dưới dạng hình ảnh đơn giản như sau:” Nếu nhốt 9 chú thỏ vào 4 cái chuồng thì phải có một cái chuồng nhốt ít nhất là 3 chú thỏ. Nguyên tắc này còn phát biểu dưới dạng khác...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHUYÊN ĐỀ 24: NGUYÊN LÝ DIRICHLET VỚI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ HÌNH HỌC CHUYÊN ĐỀ 24: NGUYÊN LÝ DIRICHLET VỚI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ HÌNH HỌCI. Giới thiệu nguyên Tắùc Dirichlet: Nguyên tắc Dirichlet là một định lý có thể chứng minh dễ dàng bằng phản chứng đãđược nhà toán học Đức Dirichlet (1805-1859) áp dụng để chứng minh nhiều định lý toán học. Nguyên tắc Dirichlet thường được phát biểu dưới dạng hình ảnh đơn giản như sau:”Nếu nhốt 9 chú thỏ vào 4 cái chuồng thì phải có một cái chuồng nhốt ít nhất là 3 chú thỏ.Nguyên tắc này còn phát biểu dưới dạng khác: -Dạng 1: nếu có một ánh xạ từ tập hợp M có n+1 phần tử vào tập hợp N có n phần tửthì ít nhất cũng có hai phần tử của tập hợp M có cùng một ảnh là một phần tử của tập hợp Mcó cùng một ảnh là một phần tử của tập hợp N qua ánh xạ đó -Dạng 2: Nếu tập hợp E gồm n phần tử được phân ra thành n tập hợp con đôi mộtkhông giao nhau mà N>nk thì có ít nhất một tập hợp con chứa nhiều hơn k phần tử -Dạng 3: Minh hoạ bằng hình ảnh Nếu nhốt N chú thỏ vào n chuồng mà N>nk thì có ít nhất một chuồng nhốt nhiều hơn kchú thỏ .II. Vận dung nguyên lý Dirichlet vào các bài toán đại số:Bài 1: Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 20032003 …. 200300…0 chia hết cho 2002 Hướng dẫn giải -Xét dãy số gồm 2002 số hạng sau: 2003,2003 …. 2003 2003 ….2003 2002 lần 2003 Chia tất cả các số hạng của dãy cho 2002 có 2002 số dư từ 1 đến 2002 (không thể có sốdư 0 vì các số hạng của dãy là các số lẻ). Có 2002 phép chia, nên theo nguyên tắc Dirichlet phảicó ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 2002. Giả sử hai số đó là am và an (m,n N ); 1 Vì T, E khác nhau nên m1-m2; n1-n2; p1-p2; q1-q2 không đồng thời bằng 0. Và vì m1, m2,n1, n2, p1, p2, q1, q2 nhận các giá trị 0, 1 nên =m1-m2 ; = n1-n2 = p1-p2; =q1-q2. Lấy các giá trị –1,0,1Bài 4: Cho 2002 số tự nhiên khác 0 sau cho 4 số khác nhau bất kỳ trong chúng đều lập thànhmột tỷ lệ thức. Chứng minh rằng trong các số đã cho luôn luôn tồn tại ít nhất 501 số bằngnhau. Ta chứng minh trong 2002 số tự nhiên đã cho chỉ nhận nhiều nhất 4 giá trị khác nhau.Thực vậy, giả sử trong các số đã cho có nhiều hơn 4 số khác nhau, giả sử a1, a2, a3, a4, a5 là 5 sốkhác nhau. Không mất tính tổng quát giả sử a1 Chia các số trên đây cho 1990, ta có 1989 số dư khác 0. Theo nguyên tắcDirichlet phải có ít nhất hai số cho cùng một số dư, hiệu hai số này (là một số códạng 1991,1991….0000) chia hết cho 1990Bài 7: Trong 1 lớp học có 30 học sinh. Chứng tỏ rằng trong số học sinh ta sẽ tìm thấy 2 họcsinh có tên bắt đầu bằng một chữ cái giống nhau. Giải Bảng chữ cái tiếng việt gồm 29 chữ cái , trong lúc đó số học sinh lớn hơn,những 30 em. Ở đây, các chữ cái đóng vai trò các lồng, còn các bạn học sinh đóngvai trò các chú thỏ mà ta phải nhốt vào lồng ,vì số thỏ lớn hơn số lồng nên ta sẽtìm được ít nhất một lồng nhốt nhiều hơn 1 chú thỏ, tức là tìm được ít nhất 2 họcsinh có tên bắt đầu cùng một chữ cái .Bài 8:Với một lượng tối thiểu là bao nhiêu hs thì ta có thể tìm được một cặp hs có ngày thángsinh giốâng nhau ? Giải Năm thường 366, Năm nhuận 367Bài 9:Có 25 số tự nhiên có 4 chữ số và đươc lập nên từ các chữ số 1,2,3 và 4. Chứng tỏ rằng tacó thể tìm thấy trong 25 số ấy hai số bằng nhau Lượng các số khác nhau lập nên là: 1.2.3.4 = 24 Mà số các số cần lập nên là 25 . Vậy theo nguyên tắc Dirichlet thì phải có hai số trùng nhau.Bài 10 : CMR trong n+1 số tự nhiên thì bao giờ cũng tìm được hai số khi chia hết cho n thì chocùng một số dư . Giải Ta chia mỗi số trong n+1số này cho n, ta được n+1 số dư ,và các số dư này nhận mộttrong các giá trị 0, 1, 2…, n-1 tức là các số dư nhận không quá n giá trị khác nhau . Mà ta lại có n+1 số . Vậy phải có hai số ta chia cho n cho ta cùng một số dư . Bài 11: CMR trong các số tự nhiên 2-1, 22-1, 23-1, …, 2n-1 trong đó n là số lẻ ,lớn hơn 1, có ítnhất một số chia hết cho n Giải Giả sử trong các số đã cho có 2 số: 2k-1,2k+l-1, khi chia cho n ,cho ta cùng môt số dư ,tức làhiệu [2k+l-1] - [2k-1] = 2k[2l-1}chia hết cho n. Như vậy thì 2l-1 phải chia hết cho n Bài 12: Từ 5 số tự nhiên bất kì , hiệu có thể tìm được hai số mà hiệu các bình phương củachúng chia hết cho 7 Giải -Bình phương của một số tự nhiên khi chia cho 7 thì chỉ cho các số dư 0,1,2 và 4 .Gỉathiết cho 5 số .Trong 5 bình phương của 5 số này sẽ có hai số mà khi chia cho 7 thì cùng một sồdư ,nghĩa là hiệu của chúng thì chia hết cho 7. Bài 13:Cho hai số đa thức cùng 1 biến ,m ...