Chuyên đề bất đẳng thức Cauchy

Tham khảo tài liệu chuyên đề bất đẳng thức cauchy, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề bất đẳng thức CauchyChuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” MỤC LỤCMỤ C LỤC ............................................................................................................. 1MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 2NỘI DUNG ............................................................................................................ 3 I. Ứng dụng của BĐT Côsi trong chứng m inh BĐT.................................... 4 II. Một số kỹ thuật sử dụng BĐT Côsi ........................................................ 9 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi tro ng c/m các BĐ T có điều kiện ............. 9 2. Kỹ thuật tách-ghép Côsi ............................................................ 13 III. Ứng dụng của BĐT Côsi trong bài toán Max-Min .............................. 15KẾT LUẬN.......................................................................................................... 20TÀ I LIỆU THAM KH ẢO .................................................................................... 21MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 1Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” MỞ ĐẦU Bất đẳng thức là một trong những nội rất hay nhưng khá khó của Toán học.Nó thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà Toán học lớn, và cũng từ đónhiều bất đẳng thức hay gắn liền với tên tuổi của những nhà Toán học nổi tiếngđược ra đời như BĐT Bunhiacopski, BĐT Becnuli, BĐT Schur,…Trong đó nổi bậthơn cả mà chúng không thể không nhắc đến, đó là bất đẳng thức Cauchy (Côsi),bởi vì BĐT Côsi là một bất đẳng thức đơn giản, gần gủi nhưng lại là một bất đẳngthức mạnh và có sự ứng dụng rộng rãi trong Toán học cũng như trong nhiều lĩnhvực khoa học tự nhiên khác. Trong chương trình Toán học phổ thông, vấn đề bất đẳng thức được xem làmột nội dung hóc búa nhất. Khi nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nội dung này hầuhết chúng ta đều e ngại và không thật sự cảm thấy thích thú với nó. Tuy nhiên, bàitoán bất đẳng thức lại là một bài toán hầu như góp mặt đầy đủ trong các kì thi HSGcũng như trong các kì thi tuyển sinh Đại học. Như thế, chẳng lẽ khi gặp một bàitoán BĐT trong một kì thi nào đó chúng ta lại bỏ qua và dễ dàng đầu hàng nó haysao? Để giúp cho người học có cái nhìn thiện cảm và không còn e ngại vấn đề nàynhiều toán học cũng như những người làm toán đã nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo vàhình thành nên những phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Khi nghiên cứu và khai thác BĐT Côsi, tôi thấy tâm đắc với hai kỹ thuậtchứng minh BĐT đặc sắc, đó là kĩ thuật “chọn điểm rơi” và kỹ thuật “tách-ghépCôsi”. Với hai kỹ thuật này chúng ta có thể vận dụng để chứng minh được rấtnhiều bất đẳng thức mà thoạt nhìn chúng ta sẽ tưởng rất khó khăn. Với mong muốntrao đổi kiến thức chuyên môn cũng như kinh nghiệm học toán và dạy toán cùngđồng nghiệp, trong chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” này, tôi trìnhbày chi tiết hai kỹ thuật chứng minh trên và thể hiện một cách cụ thể hai kỹ thuậtđó qua các ví dụ và bài toán. Hy vọng đây là một tài liệu chuyên môn có giá trị.MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 2Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” NỘI DUNG  Trước hết ta nhắc lại bất đẳng thức (BĐT) Côsi cho hai số không âm: abĐịnh lý 1: Cho hai số thực không âm a và b, ta có:  2 ab (1) 2 Đẳng thức xảy ra  a  b (Việc chứng minh BĐT này là khá đơn giản). BĐT (1) còn có nhiều cáchbiểu diễn khác như sau: a 2  b 2  2ab (2) ( a  b) 2 a 2  b2  (3) 2 2 ab ab    (4)  2   BĐT Côsi cho ba số không âm:Định lí 2: Với ba số thực không âm a, b và c ta có: abc 3  abc (5) 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c. Chứng minh: Chứng minh (5) có nhiều cách. Sau đây là một số cách chứngminh sáng tạo Cách 1: Sử dụng BĐT cho hai cặp số không âm ( a, b ) và (c, 3 abc ) ta được: a  b  c  3 abc  2 ab  2 c 3 abc    4 ab . c 3 abc   4 3 abc  ...