Chuyên đề: Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

Chuyên đề: Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số sau đây nhằm giới thiệu đến các em học sinh phổ thông phương pháp giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số. Mỗi bài tập đều có hướng dẫn giải chi tiết giúp các em học sinh dễ dàng nắm được phương pháp giải.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề: Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm sốGIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ15/09/2014CHUYÊN ĐỀ: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ1) Hàm đặc trưng được xác định ngay từ một phương trình trong hệìx 3 - y 3 = y - x (1) ï ï Bài ❶: Giải hệ phương trình í 2 ïx + xy + y 2 = 1 (2) ï îLời giải:Ta có : (1) Û x 3 + x = y 3 + y Û f (x ) = f (y ) với + f (t ) = t 3 + tf (t ) = 3t 2 + 1 > 0 t Î ¡ nên hàm số f (t ) đồng biến trên ¡Nên (1) Û x = y thay vào (2) ta được phương trình:x 2 + x 2 + x 2 = 12 Û x = ±2Với x = ±2 Þ y = ±2 Vậy hệ có 2 nghiệm là (x ; y ) = (2;2); (-2; -2)ìx 3 - y 3 = 3x - 3y (1) ï ï Bài ❷: Giải hệ phương trình í 2 ïx + y 4 = 1 (2) ï îLời giải:Ta có : Û x 3 - 3x - y 3 - 3y Û f (x ) = f (y ) với f (t ) = t 3 - 3t Từ phương trình (2) : x 2 + y 4 = 1 Þ| x |,| y |£ 1 Þ t £ 1 Khi đó f (t ) = 3t 2 - 3 £ 0t £ 1ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA1GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ15/09/2014Hàm số f (t ) nghịch biến trên (-¥;1) . Nên (1) Û x = y thay vào (2) ta được:x2 + x4 = 1 Û x4 + x2 -1 = 0 Û x2 = -1 + 5 -1 + 5 Ûx =± 2 2Với x = ± -1 + 5 Þ y = ± -1 + 5 2 2æ öæ ö ç -1 + 5 -1 + 5 ÷ ç -1 + 5 -1 + 5 ÷ ÷; ç÷. ÷ç ÷ ; ;Vậy hệ có 2 nghiệm (x ; y ) = ç ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ 2 2 2 2 ç ÷è ÷ è ø øìx 3 + x - 2 = y 3 + 3y 2 + 4y (1) ï ï Bài ❸: Giải hệ phương trình í 5 ïx + y 3 + 1 = 0 (2) ï îLời giải:(1) Û x 3 + x = y 3 + 3y 2 + 4y + 2 Û x 3 + x = (y + 1)3 + (y + 1)Û f (x ) = f (y + 1) với f (t ) = t 3 + tf (t ) = 3t 2 + 1 > 0t Î ¡ . Nên (1) Û x = y + 1 Û y = x - 1 thay vào (2) ta được: x 5 + (x - 1)3 + 1 = 0Û x (x 4 + x 2 - 3x + 3) = 0é x =0 Û êê 4 Û x + x 2 - 3x + 3 = 0 êë Với x = 0 Þ y = -1éx = 0 ê 2 ê 3ö ê 4 æ ÷ +3=0 ç êx + çx - ÷ ÷ ç ÷ 2ø 4 è êëVậy hệ có nghiệm duy nhất (x ; y ) = (0; -1).ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA2GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ15/09/2014ìx 3 - 3x 2 + 2 = y 3 + 3y 2 (1) ï ï Bài ❹: Giải hệ phương trình ï í ï3 x - 2 = y 2 + 8y (2) ï ï îLời giải:ìy 3 + 3y 2 ³ 0 ï ï ì ï ï 2 ï ïy + 8y ³ 0 Û íy ³ 0 Điều kiện: í ï ïx ³ 2 ïx - 2 ³ 0 ï î ï ï îKhi đó (1) Û x 3 - 3x 2 + 2 = y y + 3Û (x - 1) - 3(x - 1) =3Û f (x - 1) = ff (t ) = 3t 2 - 3 ³ 0t ³ 1 .Hàm số f (t ) đồng biến trên (1; +¥)Nên (1) Û x - 1 = y + 3 Û x 2 - 2x + 1 = y + 3 Kết hợp với (2) ta có hệ phương trình :ìx 2 - 2x + 1 = y + 3 ìx 2 - 2x + 1 = y + 3 ìx 2 - 2x - 2 = y ï ï ï (1¢) ï ï ï Ûí Ûí í ï3 x - 2 = y 2 + 8y ï9(x - 2) = y 2 + 8y ï9x - 18 = y 2 + 8y (2¢) ï ï ï î î ï î(y + 3 với f (t ) = t 3 - 3t)(y +3 -3 y +3)3Thế (1) vào (2 ) ta được phương trình:9x - 18 = (x 2 - 2x - 2) + 8 (x 2 - 2x - 2)2Û 9x - 18 = x 4 - 4x 3 + 8x 2 - 8x - 12Û x 4 - 4x 3 + 8x 2 - 17x + 6 = 0 Û (x - 3)(x 3 - x 2 + 5x - 2) = 0éx = 3 Û êê 3 Û x = 3 . Do x 3 - x 2 + 5x - 2 > 0 x ³ 2 2 êëx - x + 5x - 2 = 0ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA3GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ15/09/2014Với x = 3 Þ y = 1 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x ; y ) = (3;1).ìx 3 - y 3 - 2 = 3x - 3y 2 ï (1) ï Bài ❺: Giải hệ phương trình í 2 ïx + 1 - x 2 - 3 2y - y 2 + 2 = 0 (2) ï ï îì-1 £ x £ 1 ï í Lời giải: Điều kiện ï0 £ y £ 2 ï ï îKhi đó: (1) Û x 3 - 3x - 2 = y 3 - 3y 2 Û (x + 1) - 3 (x + 1) = y 3 - 3y 23 2Û f (x + 1) = f (y ) với f (t ) = t 3 - 3t .f (t ) = 3t 2 - 3 £ 0t Î [-1; 1] . Hàm số nghịch biến trên (-1;1)Nên (1) Û x = y - 1. Thay vào (2) ta được phương trình:x 2 + 1 - x 2 - 3 2 (x + 1) - (x + 1) + 2 = 02Û x2 - 2 1-x2 + 2 = 0Û x 2 + 2 = 2 1 - x 2 (*) Ûx =0ì ï (*) = x 2 + 2 ³ 2 VT ï Do í . ï (*) = 2 1 - x 2 £ 2 VP ï ï îVới x = 0 Þ y = 1. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x ; y ) = (0;1).ìx 3 - 12x - y 3 + 6y 2 - 16 = 0 ï (1) ï Bài ❻: Giải hệ phương trình í 2 ï4x + 2 4 - x 2 - 5 4y - y 2 + 2 = 0 (2) ï ï îì-2 £ x £ 2 ï í Lời giải: Điều kiện ï0 £ y £ 4 ï ï îĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA4GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ15/09/2014Khi đó: (1) Û x 3 - 12x = y 3 - 6y 2 + 16Û x 3 - 12x = (y - 2) - 12 (y - 2)3Û f (x ) = f (y - 2)3 Với f (t ) = t - 12t .Với điều kiện x Î éêë-2;2ùúû ; y Î éêë0; 4ùúû Þ t Î éêë-2;2ùúû2 Suy ra f (t ) = 3t - 12 £ 0t Î éêë-2;2ùúû . Hàm số f (t ) nghịch biến trên éêë-2;2ùúûNên (1) Û x = y - 2 Û y = x + 2 thay vào (2) ta được phương trình :4x 2 + 2 4 - x 2 - 5 4 (x + 2) - (x + 2) + 6 = 02Û 4x 2 + 2 4 - x 2 - 5 4 - x 2 + 6 = 0 Û 4x 2 + 6 = 3 4 - x 2 Û 16x 4 + 48x 2 + 36 = 36 - 9x 2Với x = 0 Þ y = 2 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x ; y ) = (0;2) .ì x + 2 x 2 + 4x + 7 + y y 2 + 3 + x + y + 2 = 0 (1) ï( ) ï Bài ❼: Giải hệ phương trình ï 2 í ï x +y +1 = x -y +1 (2) ï ï îÛ 16x 4 + 57x 2 = 0 Û x 2 (16x 2 + 57 ) = 0 Ûx =0Lời giải: Điều kiện x 2 + y + 1 ³ 0Khi đó (1) Û x + 2() (x + 2)t22+ 3 + x + 2 = -y (-y ) + 3 - y2Û f (x + 2) = f (-y ) vớif (t ) = t t 2 + 3 + tf (t ) = t + 3 +2t2 + 3+ 1 > 0t Î ¡ .Hàm số đồng biến trên ¡Nên (1) Û x + 2 = -y Û y = -x - 2 thay vào (2) ta được phương trình :ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA5 ...