Lời giải đề thi học sinh giỏi quốc gia môn toán học

Tài liệu tham khảo Lời giải đề thi học sinh giỏi quốc gia môn toán học nhằm giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lời giải đề thi học sinh giỏi quốc gia môn toán học BAN BIÊN T P DI N ĐÀN TOÁN H C MATH.VN L I GI IĐ THI H C SINH GI I QU C GIA NĂM H C 2010 – 2011d THÁNG 01 – 2011d L I NÓI Đ UDi n đàn toán h c Math.vn chưa đ y hai tu i, nhưng nh ng đónggóp c a các thành viên trên di n đàn v i c ng đ ng đã d n đư ckh ng đ nh Di n đàn là nơi trao đ i h u ích c a các th y cô giáo,c a các em h c sinh và nh ng b n yêu toán . . . Đã có nhi u bàigi ng hay, đã có nh ng l i gi i đ p cho nh ng bài toán khó, đã lànơi g p g trao đ i nhi u ý tư ng đ c đáo cho nh ng v n đ tư ngch ng đơn gi n . . . Nhìn l i hơn m t năm ho t đ ng, chúng tôi th yđã có nh ng d u n: • T ch c tư ng thu t tr c ti p đ i h i Toán h c th gi i n Đ , nơi tài năng và con ngư i Vi t Nam đư c kh ng đ nh b ng gi i thư ng Fields c a Giáo sư Ngô B o Châu. Nh ng thông tin c a Math.vn đã đư c nhi u trang web trích đăng. • T ch c thi th năm 2010 v i 24 đ ch t lư ng đư c đa ph n h c sinh và th y cô đánh giá cao. • T ch c gi i đ thi đ i h c kh i A, B, D môn Toán có nhi u l i gi i hay đư c công b s m nh t.Phát huy tinh th n đó, nhân kỳ thi ch n h c sinh gi i Qu c gia Vi tNam 2011, di n đàn t ch c gi i đ VMO 2011. Chúng tôi tin tư ngđây là m t tài li u t t cho các b n h c sinh đang và s tham gia cáccu c thi ch n h c sinh gi i tham kh o. BAN BIÊN T P DI N ĐÀN MATH.VN4 DI N ĐÀN TOÁN H C MATH.VNd M CL CL i nói đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3L i gi i bài 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7L i gi i bài 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13L i gi i bài 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17L i gi i bài 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 DI N ĐÀN TOÁN H C MATH.VNd BÀI S 1: B T Đ NG TH CBài 1. Cho x là s th c dương và n là s nguyên dương. Ch ng minhb t đ ng th c 2 n+1 x n ( x n+1 + 1) x+1 . xn + 1 2Đ ng th c x y ra khi nào?L i gi i 1. Ta s d ng phương pháp quy n p theo n. V i n = 1, b tđ ng th c c a ta tr thành 3 x( x2 + 1) x+1 . x+1 2Theo b t đ ng th c AM-GM, ta có 2 1 (2 x) + ( x2 + 1) ( x + 1)4 1 x( x + 1) = · (2 x) · ( x2 + 1) 2 . = 2 2 2 8T đó suy ra ( x+1)4 3 x( x2 + 1) x+1 8 . = x+1 x+1 2Và như v y, b t đ ng th c đã cho đúng v i n = 1.Ti p theo, ta s ch ng minh r ng n u b t đ ng th c đúng cho n = k( k ∈ N∗ ) thì nó cũng s đúng v i n = k + 1. Th t v y, theo gi thi t quyn p, ta có 2 k+1 x k ( x k+1 + 1) x+1 , xk + 1 2suy ra 2( k+1)+1 2 2 k+1 2 x k ( x k+1 + 1) x+1 x+1 x+1 x+1 . = · xk + 1 2 2 2 2S d ng đánh giá này, ta th y r ng vi c ch ng minh có th đư c đưav ch ng minh k t qu sau 2 x k ( x k+1 + 1) x k+1 ( x k+2 + 1) x+1 . · xk + 1 x k+1 + 1 2B t đ ng th c này tương đương v i ( x + 1)2 ( x k+2 + 1)( x k + 1) , ( x k+1 + 1)2 ...