Chuyên đề hình học không gian - 1

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD theo một thứ tự tại K, L, M, N. SA SC SB SD + = + Chứng minh rằng: . SK SM SL SN Giải: Các tứ diện MSKL và CSKL có cùng
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề hình học không gian - 1 Bài 10: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SDtheo một thứ tự tại K, L, M, N. SA SC SB SD + = + Chứng minh rằng: . SK SM SL SN Giải: Các tứ diện MSKL và CSKL có cùng đáy SKL nên tỉ số thể tích của chúng bằng tỉ số hai đường cao tươngứng MM và CC: VMSKL MM = VCSKL CC VMSKL SM = � VCSKL SC (1) Các tứ diện CSKL và CSAB có cùng chiều cao là khoảng cách từ C đến mp (SAB) nên tỉ số thể tích củachúng bằng tỉ số diện tích của 2 đáy tương ứng: 1 VCSKL S SKL 2 SK .SL SK .SL S = = = (2) VCSAB S SAB 1 SA.SB SA.SB 2 Từ (1) và (2), ta có: N j VMSKL SK .SL.SM SK .SL.SM = � VSKLM = .VSABC M VCSAB SA.SB.SC SA.SB.SC K M Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: ∆ABC = ∆ADC 1 1 L VSABC = VSADC = V SABCD = V D 2 2 C trong đó V là thể tích của hình chóp S.ABCD C 1 SK .SL.SM � VSKLM = . .V 2 SA.SB.SC Tương tự, ta có: 1 SK .SM .SN B VSKMN = . .V 2 SA.SB.SD V SK SM � SL SN � � VS .KLMN = . �+ . (3) � 2 SA SC � SB SD � Tương tự, ta có: VS . KLMN = VSKLN + VSMLN 1 SK .SL.SN 1 SL.SM .SN =. .V + . .V 2 SA.SB.SD 2 SB.SC.SD V SL SN � SK SM � =.. .� + (4) � 2 SB SD � SA SC � Từ (3) và (4), ta có: SK SM � SL SN � SL SN � SK SM � �+ = .� + . . � � SA SC � SB SD � SB SD � SA SC � � SB.SK .SM .SN + SD.SK .SL.SM = SC .SK .SL.SN + SA.SL.SM .SN Chia hai vế cho tích số SK.SL.SM.SN, ta có: SB SD SC SA + = + SL SN SM SK SA SC SB SD + = + Vậy: . SK SM SL SN Bài 11: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là điểm giữa của cạnh SC. Mặtphẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. SB SD + =3 Chứng minh: 1) SM SN 1 V1 3 2) 3V8 trong đó V là thể tích hình chóp S.ABCD, V1 là thể tích hình chóp S.AMKN. Giải: 1. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Trong tam giác SAC, AK và SO là hai trung tuyến, c ắt nhau tạitrọng tâm G. Suy ra 3 điểm M, G, N thẳng hàng. (3 điểm M, G, N nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng(AMKN) và (SBD)). S SMG SM .SG 2SM = = Ta có: S SBO SB.SO 3SB 2 SM SM � S SMG = .S SBO = .S SBD S 3SB 3SB Tương tự, ta có: 2 SN SN S SNG = .S SDO = .S SBD 3SD 3SD SM .SN K S SMN = .S SBD SB.SD N Mặt khác, ta có: G S SMG + S SNG = S SMN D C SM SN SM .SN + = M � 3SB 3 ...