Chuyên đề hình học không gian - 2

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và SA vuông gócvới mp(ABCD) .Cho AB = a , SA = a 2 . Gọi H, K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Chứng minh SC vuông góc với mp(AHK)
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề hình học không gian - 2 Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và SA vuông gócvới mp(ABCD) .Cho AB = a , SA = a 2 . Gọi H, K, lần lượt là hình chiếu vuông góccủa A lên SB và SD. Chứng minh SC vuông góc với mp(AHK) và tính thể tích hìnhchóp O.AHK. Giải: S H M K B A O C DTa có: ∆ SAD = ∆ SAB ∆ SAK = ∆ SAH AK = AH SK = SH HK//BDMà BD ⊥ mp(SAC) HK ⊥ mp(SAC) HK ⊥ SC (1)Mặt khác : CD ⊥ mp(SAD) CD ⊥ AKMà AK ⊥ SD nên AK ⊥ (SCD) SC ⊥ AK (2) SC ⊥ mp(AHK)Từ (1) và (2)Trong mp(SBD) thì SO cắt HK tại ITrong mp(SAC) thì AI cắt SC tại MTa có : SC ⊥ mp(AHK) SC ⊥ AMMà SAC vuông cân tại A nên M là trung điểm SCVậy I là trọng tâm SAC SC 2aTa có : CM = d(C , mp(AHK)) = = =a 2 2 d (O, ( AHK )) OA 1 = =Mà O trung điểm AC nên d (C , ( AHK )) AC 2 1 a h = d( O, (AHK)) = CM = 2 2 2 SA SA2 2a 2 2 � HK = BD. 2 = a 2. 2 = a 2Ta có : HK SH HK = SB = � SB 3a 3 BD SB BD SB 2 2 SC SC 2aTa có: AI = AM = . = = 3 32 3 3Mà HK ⊥ mp(SAC) HK ⊥ AI 3 1 h a � a �2 2� �a 2Ta có: VO. AHK = h.dt (∆AHK ) = AI .HK = . � � a 2 �= � 3 6 12 �3 � 3 � 27 �Bài 8: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có tâm O , cạnh a . Trên tia Ax ,Cy ở về cùng một phía và vuông góc mp(P) lấy 2 điểm M , N . Đặt AM = x, CN = y.a) Chứng minh điều kiện cần và đủ để ∆ OMN vuông tại O là a 2 = 2 xy .b) Giả sử M, N thay đổi sao cho ∆ OMN vuông tại O . Tính thể tích tứ diện a3B.DMN.Xác định x ,y để VB.DMN = 4 Giải: y x N H M C D O B A a) Trên mp(Ax , Cy) vẽ MH //AC∆MHN vuông tại H � MN 2 = MH 2 + NH 2 = 2a 2 + ( y − x ) 2∆OMN vuông tại O � MN 2 = OM 2 + ON 2 � MN 2 = ( AM 2 + OA2 ) + (OC 2 + CN 2 ) a2 a2 � 2a + ( y − x ) = x + + + y 2 2 2 2 2 2 � a = 2 xy 2 b) Ta có: BD ⊥ AC và BD ⊥ MA BD ⊥ mp(MNCA) BD ⊥ MO (1)Mà MO ⊥ ON (2) OM ⊥ mp(BDN)Từ (1) và (2)Ta có: ∆NBC = ∆NCD � NB = ND 1Do đó: dt( ∆ NBD) = NO.BD 2 1 a2 = + y 2 .a 2 22 1Vậy VM . NBD = OM .dt ( ∆NBD ) 3 1 2 a2 a 2 a2�V = x+ . y2 + 3 22 2 a2 a2 a2 a2Mà xy = nên V = x 2 + xy . y 2 + xy = xy ( x + y ) 2 = ( x + y) 2 6 6 6 a2 3 x+ y = a xy = � � a3 2 2Ta có: V = �2 ...