Chuyên đề: Phương tích - Trục đẳng phương

Chuyên đề: Phương tích - Trục đẳng phương giúp các bạn nắm bắt được những kiến thức về phương tích của một điểm đối với đường tròn; trục đẳng phương của hai đường tròn - tâm đẳng phương. Bên cạnh đó, tài liệu còn giới thiệu tới các bạn một số bài tập và hướng dẫn cách giải các bài tập này nhằm giúp các bạn củng cố kiến thức lý thuyết một cách tốt hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề: Phương tích - Trục đẳng phương Chuyênđề:PHƯƠNGTÍCH–TRỤCĐẲNGPHƯƠNG THPTChuyênNguyễnTấtThành–YênBáiI.Phươngtíchcủamộtđiểmđốivớiđườngtròn 1.Địnhlý1.1Chođườngtròn(O;R)vàđiểmMcốđịnh,OM=d.MộtđườngthẳngthayđổiquaMcắtđườngtròntạihaiđiểmAvàB.KhiđóMA.MB = MO 2 − R 2 = d 2 − R 2 2.Địnhnghĩa.Giátrịkhôngđổi MA.MB = d 2 − R 2 trongđịnhlý1.1đượcgọilàphươngtíchcủađiểmMđốivớiđườngtròn(O)vàkíhiệu M /(O) .Tacó:�M /( O ) = MA.MB = d − R 2 2 3.Định lý 1.2 Nếu hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại P vàPA.PB = PC.PD thì4điểmA,B,C,Dcùngthuộcmộtđườngtròn. Chứngminh. Giả sử đườngtrònngoạitiếptamgiácABCcắtCDtạiD’. Khi đó ta có theo định lý 1.1 ta có PA.PB = PC.PD , suy raPC.PD PC.PD D D=. Suy ra 4 điểm A, B, C và D cùng thuộc một đườngtròn. 4.Chúý: 1.KhiMnằmtrên(O)thì�M / ( O ) = 0 2.KhiMnằmngoàiđườngtròn(O)vàMTlàtiếptuyếncủa(O)thì �M /( O ) = MT 2 3.NếuA,Bcốđịnhvà AB. AM = const Mcốđịnh.Ýtưởngnàygiúp tagiảicácbàitoánvềđườngđiquađiểmcốđịnh.II.Trụcđẳngphươngcủahaiđườngtròn–Tâmđẳngphương 1.Trụcđẳngphương a)Địnhlý2.1Chohaiđườngtrònkhôngđồngtâm(O1;R1)và(O2;R2).TậphợpcácđiểmMcóphươngtíchđốivớihaiđườngtrònbằngnhaulàmộtđườngthẳng,đườngthẳngnàyđượcgọilàtrụcđẳngphươngcủahaiđườngtròn(O1)và(O2). b)CáchệquảChohaiđườngtròn(O)và(I).Từđịnhlý2.1tasuyrađượccáctínhchấtsau: 1)Trụcđẳngphươngcủahaiđườngtrònvuônggócvớiđườngthẳng nốitâm. 2)NếuhaiđườngtròncắtnhautạiAvàBthìABchínhlàtrụcđẳng phươngcủachúng. 3)NếuđiểmMcócùngphươngtíchđốivới(O)và(I)thìđườngthẳng quaMvuônggócvớiOIlàtrụcđẳngphươngcủahaiđườngtròn. 4)NếuhaiđiểmM,Ncócùngphươngtíchđốivớihaiđườngtrònthì đườngthẳngMNchínhlàtrụcđẳngphươngcủahaiđườngtròn. 5)Nếu3điểmcócùngphươngtíchđốivớihaiđườngtrònthì3điểmđó thẳnghàng. 6)Nếu(O)và(I)tiếpxúcnhautạiAthìđườngthẳngquaAvàvuông gócvớiOIchínhlàtrụcđẳngphươngcủahaiđườngtròn. 2.Tâmđẳngphương a)Địnhlý2.2Cho3đườngtròn(C1),(C2)và(C3).Khiđó3trụcđẳngphươngcủacáccặpđườngtròntrùngnhauhoặcsongsonghoặccùngđiquamộtđiểm,điểmđóđượcgọilàtâmđẳngphươngcủabađườngtròn. b)Cáchệquả. 1.Nếu3đườngtrònđôimộtcắtnhauthìcácdâycungchungcùngđiqua mộtđiểm 2.Nếu3trụcđẳngphươngsongsonghoặctrùngnhauthìtâmcủa3 đườngtrònthẳnghàng. 3.Nếu3đườngtròncùngđiquamộtđiểmvàcócáctâmthẳnghàngthì cáctrụcđẳngphươngtrùngnhau. 4.CáchdựngtrụcđẳngphươngcủahaiđườngtrònkhôngcắtnhauChohaiđườngtròn(O1)và(O2)khôngcắtnhau,tacócáchdựngtrụcđẳngphươngcủahaiđườngtrònnhưsau: 1.Dựngđườngtròn(O3)cắtcảhaiđườngtròn(O1)và(O2)lầnlượttại A,BvàC,D. 2.ĐườngthẳngABvàCDcắtnhautạiM 4.ĐườngthẳngquaMvuônggócvớiO1O2chínhlàtrụcđẳngphương của(O1)và(O2).III.Cácbàitậpápdụng ﾷ ,AthuộcOx;B,CthuộcOysaocho OA2 = OB.OC . Bài1.Chogóc xOyChứngminhrằng:Đườngtròn(ABC)tiếpxúcOxtạiA.HướngdẫnGiảisửđườngtròn(ABC)cắtOxtại C yA’.TacóOA.OA’=OB.OC BTheogiảthiết OA2 = OB.OC nêntacó: OOA2 = OA.OA A x OA=OA’ A A Vậyđườngtròn(ABC)tiếpxúcOxtạiA. Bài2.Cho∆ABCcó(O,R)và(I,r)lầnlượtlàđườngtrònngoạitiếpvàđườngtrònnộitiếpcủa∆ABC.Chứngminhrằng: OI 2 = R 2 − 2 RrHướngdẫnGọiMlàgiaocủaAIvàđườngtròn(O).TacóIA.IM = R 2 − OI 2 (1) . A ﾷA + C ﾷ ﾷ∆MICcó MIC ﾷ = MCI = � IM = MC (2) 2 O A H ITheođịnhlíSintrong∆AMC,MC=2R sin (3). 2Dựng IH ⊥ AB tạiH.Trong∆IAHcó B C rIA = (4) A M sin 2Thay(2),(3),(4)vào(1)tacó: 2 Rr = R 2 − OI 2 � OI 2 = R 2 − 2 Rr Bài3.Chođườngtròn(O,R)vàđiểmAnằmngoàiđườngtròn.GọiBClàđườngkínhthayđổicủa(O,R).Chứngminhrằng:Đườngtròn(ABC)luônđiquamộtđiểmcốđịnhkhácAHướngdẫnGọiA’làgiaođiểmthứ2củaAOvàđường Atròn(ABC). R2Tacó OA.OA = OB.OC = R � OA = 2 . OAVậyA’nằmtrênđườngthẳngOAcốđịnh C R2 Ovà OA = khôngđổinênA’cốđịnh. OAVậymọiđườngtrò ...