Chuyên đề Phương trình vi phân cấp II - TS. Nguyễn Hữu Thọ

Dưới đây là Chuyên đề Phương trình vi phân cấp II. Mời các bạn tham khảo chuyên đề để nắm bắt những kiến thức về phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng; phương trình tuyến tính cấp hai không thuần nhất với hệ số hằng; cách giải bài toán giá trị ban đầu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề Phương trình vi phân cấp II - TS. Nguyễn Hữu Thọ Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT1. Phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng Dạng : PTVPTT cấp 2 thuần nhất có dạng: ay + by + cy = 0 , (1)trong đó a, b và c là các hằng số, a ≠ 0 . Mục đích: Tìm nghiệm tổng quát của (1). Cách giải: Xét phương trình đặc trưng: ar 2 + br + c = 0.a. Trường hợp 1: PT đặc trưng (3) có hai nghiệm thực phân biệt ĐNNH LÝ 1. Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực, phân biệt r1 và r2 , khi đó rx rx y(x ) = c1e 1 + c2e 2là một nghiệm tổng quát của phương trình (1).b. Trường hợp 2:Phương trình đặc trưng có nghiệm bội ĐNNH LÝ 2. Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm bằng nhau r1 = r2 , khi đó rx y(x ) = (c1 + c2x )e 1là nghiệm tổng quát của phương trình (1).c. Trường hợp 3: Phương trình đặc trưng có nghiệm phức. ĐNNH LÝ 3. Nếu phương trình đặc trưng có cặp nghiệm phân biệt phức liên hợp a ± bi(với b ≠ 0 ), khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng : y(x ) = e ax (c1 cos bx + c2 sin bx ) 2. Phương trình tuyến tính cấp hai không thuần nhất với hệ số hằng ● Dạng : PTVPTT cấp hai không thuần nhất có dạng: ay + by ′ + cy = f (x ). ܽ≠0 (2)TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012● Cách giải: + Trước hết tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng + Tiếp theo phải tìm được một nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất (2): yp(x)Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (2) có dạng: y(x ) = yc (x ) + y p (x ) Như vậy nhiệm vụ còn lại của chúng ta là phải tìm yp.● Các phương pháp tìm ࢟࢖ (࢞)a. Phương pháp hệ số bất địnhTr−êng hîp 1: f (x ) = e αx Pn (x ) , trong ®ã α lµ h»ng sè vµ ܲ௡ (‫ )ݔ‬lµ ®a thøc bËc n 1) NÕu α kh«ng lµ nghiÖm ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng th× mét nghiÖm riªng cña (2) cã d¹ng: y p = e αxQn (x ) 2) NÕu α lµ nghiÖm ®¬n cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng th× mét nghiÖm riªng cña (2) cã d¹ng: y p = xe αxQn (x ) 3) NÕu α lµ nghiÖm kÐp cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng th× mét nghiÖm riªng cña (2) cã d¹ng: y p = x 2e αxQn (x ) P (x )cos βx + P (x ) sin βx  , trong ®ã ܲ௡ (‫)ݔ‬, ܲ ௠ (‫ )ݔ‬lµ c¸c ®aTr−êng hîp 2: f (x ) = e αx  n m thøc bËc ݊, t−¬ng øng ݉ vµ ߙ, ߚ lµ c¸c h»ng sè. 1) NÕu α ± i β kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng th× mét nghiÖm riªng cña (2) cã d¹ng: y p = e αx Ql (x )cos βx + Rl (x )sin β x  2) NÕu α ± i β lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng th× mét nghiÖm riªng cña (2) cã d¹ng: y p = xe αx Ql (x ) cos β x + Rl (x ) sin β x  víi ݈ = max (݊, ݉).b. Phương pháp biến thiên tham sốGiả sử ta đã tìm được nghiệm tổng quát của PTVPTT thuần nhất tương ứng 1TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 yc (x ) = c1y1 (x ) + c2y2 (x ) + Tìm sẽ đi tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất (2) dưới dạng: y p (x ) = u1 (x ) y1 (x ) + u2 (x ) y2 (x ) + Để tìm ‫ݑ‬ଵ (‫)ݔ‬, ‫ݑ‬ଶ (‫ )ݔ‬ta đi giải hệ phương trình sau: u1′y1 + u2′y2 = 0,  u1′y1′ + u2′y2′ = f (x )  + Giải hệ tren ta nhận được các hàm u1(x ), u2 (x ) . + Nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất (2): y p (x ) = u1(x )y1(x ) + u2 (x )y2 (x ) . Và khi đó nghiệm tổng quát của PTVPTT không thuần nhất (2) là: ࢟ = ࢟ࢉ + ࢟࢖ .3, Giải bài toán giá trị ban đầu: Xét bài toán ࢇ࢟ᇱᇱ + ࢈࢟ᇱ + ࢉ = ࢌ(࢞) (∗) ൜ ࢟(ࢇ) = ࢟૚ ; ࢟ᇱ (ࢇ) = ࢟૛ (∗∗) + Trước hết ta tìm nghiệm tổng quát của PTVP (*) + Ta chỉ lấy các nghiệm thỏa mãn (**) làm nghiệm của bài toán đã cho. B. MỘT SỐ BÀI TẬPBài số 1 : Tìm nghiệm tổng quát của các PTVPTT thuần nhất sau1. y − 4y = 0 2. 2y − 3y = 03. y + 3y − 10y = 0 4. 2y − 7y + 3y = 05. y + 6y + 9y = 0 6. y + 5y + 5y = 07. 4y − 12y + 9y = 0 ...