Chuyên đề: Số phức – Nông Thu Trang

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệuChuyên đề: Số phức sau đây với kiến thức lý thuyết được ôn tập, bài tập và bài giảng các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao, sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho những ai yêu thích chuyên đề này nói riêng, bộ môn Toán nói chung. Tham khảo nội dung tài liệu để nắm bắt nội dung chi tiết.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề: Số phức – Nông Thu Trang Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang SỐ PHỨCI. Mở đầu: Do nhu cầu phát triển của Toán học, các nhà Toán học đã lần lượt đưa ra cácloại số mới. Từ tập các số tự nhiên, đến tập các số nguyên, tập số hữu tỷ rồi rộng hơnlà tập số thực. Tuy nhiên nếu chỉ dừng lại ở tập số thực thì một phương trình đơn giảnnhư x2  1  0 không có nghiệm, vậy cần xây dựng tập số mới để phương trình trên cónghiệm, hay rộng hơn là các phương trình bậc hai có biệt thức   0 vẫn có nghiệm.Tập số mới cần được xây dựng sao cho phải phong phú hơn các số thực và có thể coisố thực là trường hợp riêng của tập đó. Người ta đã đưa ra khái niệm số phức.II. Số phức và các phép toán trên số phức:1. Khái niệm số phức: Một biểu thức dạng : z  a  bi , a, b  R (1) được gọi là một số phức. Trong đó: i là số thỏa mãn i 2  1 , gọi là đơn vị ảo a gọi là phần thực của z, ký hiệu : a  Re( z ) b gọi là phần ảo của z, ký hiệu : b  Im( z ) .Dạng (1) gọi là dạng chính tắc (hay dạng đại số) của số phức.Tập hợp tất cả các số phức ký hiệu là C .Đặc biệt : * Khi b  0 ta có số phức z  a chính là số thực. * Khi a  0 ta có số phức dạng z  bi gọi là số thuần ảo. * Hai số phức z  a  bi và w  c  di gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần a  cảo của chúng tương ứng bằng nhau, nghĩa là: z  w   . b  dKhoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 1 Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang2. Các phép toán trên số phức : Cho hai số phức z  a  bi và w  c  di . Ta có các phép toán sau :  Phép cộng : z  w  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i  Phép trừ: z  w  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i  Phép nhân: z.w  (a  bi)(c  di)  (ac  bd )  (ad  bc)i z a  bi ac  bd bc  ad  Phép chia:    i (c  di  0) w c  di c 2  d 2 c 2  d 2 Xét phép toán cộng và phép nhân hai số phức, ta dễ dàng thấy chúng có đầy đủ tínhchất như phép cộng và phép nhân hai số thực là tính giao hoán, kết hợp, phân phối củaphép nhân với phép cộng.Với phép toán cộng : * Tính chất giao hoán : z1  z 2  z 2  z1 , z1 , z 2 C * Tính chất kết hợp : ( z1  z 2 )  z3  z1  ( z 2  z3 ), z1 , z 2 , z3 C * Cộng với 0 : z  0  0  z, z C * Với mỗi số phức z  a  bi , a, b  R , nếu kí hiệu số phức  z  a  bi ,a, b  R , thì ta có z  ( z)  ( z )  z  0 . Số –z được gọi là số đối của số phức z.Với phép toán nhân : * Tính chất giao hoán : z1 .z 2  z 2 .z1 , z1 , z 2 C * Tính chất kết hợp : ( z1 z 2 ) z3  z1 ( z 2 z3 ), z1 , z 2 , z3 C * Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng : z1 ( z 2  z3 )  z1 z 2  z1 z3 , ( z1  z 2 ) z3  z1 z3  z 2 z3 , z1 , z 2 , z3 C * Nhân với đơn vị : z.1  1.z, z  CKhoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 2 Chuyên đề: Số phức – GV. Nông Thu Trang * Với mỗi số phức z  a  bi , a, b  R, a, b  0 , nếu kí hiệu a bz 1   2 i 2 thì ta có: zz 1  z 1 z  1 . a b a b 2 2 1 Số z gọi là nghịch dảo của số phức z. Với những tính chất trên, có thể coi tập các số thực là trường hợp riêng của tậpcác số phức.3. Biểu diễn hình học của số phức: Mỗi số phức z  a  bi  a, b  R  được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trongmặt phẳng tọa độ Oxy, ngược lại mọi điểm M(a;b) trong mặt phẳng Oxy đều có thểxem là ảnh của số phức a + bi. Do đó mặt phẳng Oxy còn được gọi là mặt phẳng phức. Các số phức dạng z  a  0i (ta đồng nhất với số thực a) được biểu diễn bởi cácđiểm M(a,0) trên trục Ox, do đó trục Ox còn được gọi là trục thực. Trục Oy được gọi là trục ảo, các điểm nằm trên trục ảo tương ứng với các sốphức dạng z  bi, b  R . y b . M(a;b) x O a4. Số phức liên hợp: Cho số phức z  a  bi . Số phức z  a  bi được gọi là số phức liên hợp của z. Về mặt hình học hai số phức z và z được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhauqua trục thực Ox.Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 3 ...