Một số phương pháp và bài tập giải phương trình vô tỷ

Để có thêm nhiều bài tập để bạn giải và nâng cao kiến thức của mình. Mời các bạn tham khảo một số phương pháp và bài tập giải phương trình vô tỷ, để biết các dạng bài và chia sẻ với các bạn cùng lớp để giải quyết vấn đề khó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số phương pháp và bài tập giải phương trình vô tỷMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬPGIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ www.VNMATH.comMét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A LỜI NÓI ĐẦU: Phương trình là một mảng kiến thức quan trọng trong chương trìnhToán phổ thông. Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linhhoạt, với nhiều học sinh kể cả học sinh khá giỏi nhiều khi còn lúng túngtrước việc giải một phương trình, đặc biệt là phương trình vô tỷ. Trong những năm gần đây, phương trình vô tỷ thường xuyên xuất hiệnở câu II trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng. Vì vậy, việctrang bị cho học sinh những kiến thức liên quan đến phương trình vô tỷ kèmvới phương pháp giải chúng là rất quan trọng. Như chúng ta đã biết phươngtrình vô tỷ có nhiều dạng và nhiều phương pháp giải khác nhau. Trong bàitập lớn này, tôi xin trình bày “một số phương pháp giải phương trình vôtỷ”, mỗi phương pháp đều có bài tập minh họa được giải rõ ràng, dễ hiểu;sau mỗi phương pháp đều có bài tập áp dụng giúp học sinh có thể thực hànhgiải toán và nắm vững cái cốt lõi của mỗi phương pháp. Hy vọng nó sẽ góp phần giúp cho học sinh có thêm những kĩ năng cầnthiết để giải phương trình chứa căn thức nói riêng và các dạng phương trìnhnói chung. Page 1 www.VNMATH.comNguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tûA. BÀI TOÁN MỞ ĐẦU: 2Giải phương trình: 1  x  x 2  x  1  x (*) 3 (ĐHQG HN, khối A-2000) Giải:Điều kiện: 0  x  1 Cách 1: 2  2  2(*)  1   3   x  x2   x  1  x  4 4 1 x  x 2  ( x  x 2 )  1  2 x(1  x ) 3 9 4( x  x 2 )  6 x  x 2  0 2 x  x 2 (2 x  x 2  3)  0  x  x2  0  x  x2  3   2 2 x  x  0 2  x  x  9  0( PTVN )   4 x  0 (thỏa điều kiện)  x 1Vậy nghiệm của phương trình là x  0; x  1 . Cách 2:Nhận xét: x  x 2 được biểu diễn qua x và 1  x nhờ vào đẳng thức: 2 x  1 x  =1+2 x  x 2 .Đặt t  x  1  x (t  0) . t 2 1 2 x x  . 2Phương trình (*) trở thành: t2 1 t  11  t  t 2  3t  2  0   3 t  2Với t  1 ta có phương trình: x  0 x  1  x  1  2 x  x 2  0  x  x2  0   (thỏa điều kiện).  x 1Với t  2 ta có phương trình: Page 2 www.VNMATH.comMét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A 9 9 x  1  x  2  2 x  x2  3  x  x2   x 2  x   0( PTVN ) . 4 4Vậy nghiệm của phương trình là x  0; x  1 . Cách 3: 2 2Nhận xét: x và 1  x có mối quan hệ đặc biệt, cụ thể  x  1 x   1.(*)  2 x . 1  x  3 1  x  3 x  3   1  x 2 x  3  3 x  3 (1) . 9x không thỏa mãn phương trình (1). 4 3 x 3Do đó, (1)  1  x  (2) . 2 x 3 3t  3Đặt t  x (t  0), (2)  1  x  . 2t  3 2 2Ta có:  x  1 x  1 2 2  3t  3 t   1  2t  3  t 2 (4t 2  12t  9)  9t 2  18t  9  4t 2  12t  9 4t 4  12t 3  14t 2  6t  0 t (2t 3  6t 2  7t  3)  0 t (t  1)(2t 2  4t  3)  0 t  0 . t  1Với t  0 ta có x  0  x  0 (thỏa điều kiện).Với t  1 ta có x  1  x  1 (thỏa điều kiện).Vậy nghiệm của phương trình là x  0; x  1 . Cách 4: 2 2Nhận xét: x và 1  x có mối quan hệ đặc biệt, cụ thể  x  1 x   1.Đặt a  x (a  0); b  1  x (b  0) .Ta có hệ phương trình: 21  ab  a  b 3  2ab  3(a  b) 2ab  3(a  b)  3 3  2  2a 2  b 2  1 (a  b)  2ab  1 ( ...