Chuyên đề : ước và bội

ước và bội số là hai khái niệm quan trọng trong chương trình số học THCS, chuyên đề này giới thiệu những khái niệm và tính chất cơ bản về ước, ước số chung, ước chung lớn nhất, bội , bội số chung, bội chung nhỏ nhất.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề : ước và bộiChương 1 Ư c và B i 1.1 Ư cs ,ư c s chung, ư c s chung l n nh t 1 1.2 B is ,b i s chung, b i s chung 1.3 nh nh t Bài t p đ 4 ngh 6 .v n h Nguy n M nh Trùng Dương (duongld) Nguy n Tr n Huy (yeutoan11) 2 4 cƯ c và b i là 2 khái ni m quan tr ng trong chương trình s h c THCS.Chuyên đ này s gi i thi u nh ng khái ni m và tính ch t cơ b n v oư c, ư c s chung, ư c chung l n nh t, b i, b i s chung, b i chungnh nh t. M t s bài t p đ ngh v các v n đ này cũng s đư c đc p đ n cu i bài vi t. h1.1 u i Ư c s , ư c s chung, ư c s chung l n nh t VTrong ph n này, chúng tôi s trình bày m t s khái ni m v ư c s ,ư c s chung và ư c s chung l n nh t kèm theo m t vài tính ch t c achúng. M t s bài t p ví d cho b n đ c tham kh o cũng s đư c đưara.1.1.1 Đ nh nghĩaĐ nh nghĩa 1.1 S t nhiên d = 0 đư c g i là m t ư c s c a s tnhiên a khi và ch khi a chia h t cho d. Ta nói d chia h t a, kí hi u d|a.T p h p các ư c c a a là: U (a) = {d ∈ N : d|a}. 12 1.1. Ư c s , ư c s chung, ư c s chung l n nh tTính ch t 1.1– N u U (a) = {1; a} thì a là s nguyên t .Đ nh nghĩa 1.2 N u U (a) và U (b) có nh ng ph n t chung thì nh ngph n t đó g i là ư c s chung c a a và b. Ta kí hi u: U SC(a; b) = {d ∈ N : (d|a) ∧ (d|b)} = {d ∈ N : (d ∈ U (a)) ∧ (d ∈ U (b))}.Tính ch t 1.2– N u U SC(a; b) = {1} thì a và b nguyên t cùng nhau. nĐ nh nghĩa 1.3 S d ∈ N đư c g i là ư c s chung l n nh t c a a và b(a; b ∈ Z) khi d là ph n t l n nh t trong t p U SC(a; b). Ký hi u ư c .vchung l n nh t c a a và b là U CLN (a; b), (a; b) hay gcd(a; b).1.1.2 Tính ch tSau đây là m t s tính ch t c a ư c chung l n nh t: 4 h • N u (a1 ; a2 ; . . . .; an ) = 1 thì ta nói các s a1 ; a2 ; . . . ; an nguyên t cùng nhau. c 2 • N u (am ; ak ) = 1, ∀m = k, {m; k} ∈ {1; 2; . . . ; n} thì ta nói các o a1 ; a2 ; . . . ; an đôi m t nguyên t cùng nhau. a b (a; b) h • c ∈ U SC(a; b) thì ; = . c c c • d = (a; b) ⇔ u i a b ; d d • (ca; cb) = c(a; b). = 1. V • (a; b) = 1 và b|ac thì b|c. • (a; b) = 1 và (a; c) = 1 thì (a; bc) = 1. • (a; b; c) = ((a; b); c). • Cho a > b > 0 – N u a = b.q thì (a; b) = b. – N u a = bq + r(r = 0) thì (a; b) = (b; r).Di n đàn Toán h c Chuyên đ S h c1.1. Ư c s , ư c s chung, ư c s chung l n nh t 31.1.3 Cách tìm ư c chung l n nh t b ng thu t toán EuclideĐ tìm (a; b) khi a không chia h t cho b ta dùng thu t toán Euclidesau: a = b.q + r1 thì (a; b) = (b; r1 ). b = r1 .q1 + r2 thì (b; r1 ) = (r1 ; r2 ). ··· rn−2 = rn−1 .qn−1 + rn thì (rn−2 ; rn−1 ) = (rn−1 ; rn ). rn−1 = rn .qn thì (rn−1 ; rn ) = rn . .v n h (a; b) = rn . (a; b) là s dư cu i cùng khác 0 trong thu t toán Euclide.1.1.4 Bài t p ví d 2 4Ví d 1.1. Tìm (2k − 1; 9k + 4), k ∈ N∗ . cL i gi i. Ta đ t d = (2k − 1; 9k + 4). Theo tính ch t v ư c s chung ota có d|2k − 1 và d|9k + 4. Ti p t c áp d ng tính ch t v chia h t ta l i hcó d|9(2k − 1) và d|2(9k + 4). Suy ra d|2(9k + 4) − 9(2k − 1) hay d|17. iV y (2k − 1; 9k + 4) = 1. uVí d 1.2. Tìm (123456789; 987654321).L i gi i. Đ t b = 123456789; a = 987654321. Ta nh n th y a và b đ uchia h t cho 9. VTa l i có : ...