Đại số 11: Chương 4 - Trần Sĩ Tùng

Tài liệu "Đại số 11: Chương 4 - Trần Sĩ Tùng" cung cấp kiến thức lý thuyết và đưa ra các dạng bài tập về giới hạn. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu nhằm kiểm tra, củng cố kiến thức cũng như hỗ trợ ôn tập đạt hiệu quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đại số 11: Chương 4 - Trần Sĩ TùngĐại số 11Trần Sĩ TùngCHƯƠNG IV GIỚI HẠNI. Giới hạn của dãy số Giới hạn hữu hạn 1. Giới hạn đặc biệt: 1 1 lim = 0 ; lim = 0 (k Î ¢+ ) k n®+¥ n n®+¥ nn®+¥Giới hạn vô cực 1. Giới hạn đặc biệt: lim n = +¥ lim q n = +¥ (q > 1) 2. Định lí: lim n k = +¥ (k Î ¢ + )lim q = 0 ( q < 1) ;nn®+¥lim C = C2. Định lí : a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì · lim (un + vn) = a + b · lim (un – vn) = a – b · lim (un.vn) = a.b u a · lim n = (nếu b ¹ 0) vn b b) Nếu un ³ 0, n và lim un= a thì a ³ 0 và lim un = a c) Nếu un £ vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 d) Nếu lim un = a thì lim un = a 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn u S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1 1- qa) Nếu lim un = +¥ thì lim1 =0 un un =0 vnb) Nếu lim un = a, lim vn = ±¥ thì lim c) Nếu lim un = a ¹ 0, lim vn = 0 u ì+¥ neáu a.vn > 0 thì lim n = í neáu a.vn < 0 vn î-¥ d) Nếu lim un = +¥, lim vn = a ì+¥ neáu a > 0 thì lim(un.vn) = í neáu a < 0 î-¥( q < 1)* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô 0 ¥ định: , , ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử 0 ¥ dạng vô định.Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số: · Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n. 1 1 1+ - 3 2 n +1 n + n - 3n n n =1 VD: a) lim b) lim = lim =1 = lim 3 2 1 1 - 2n 2n + 3 2+ -2 n n æ 4 1 ö c) lim(n2 - 4 n + 1) = lim n2 ç 1 - + ÷ = +¥ è n n2 ø · Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức 1+(a - b )( a + b ) = a - b;VD:lim(n2 - 3n - n = lim)(n2 - 3n - n()(( 3 a - 3 b ) ( 3 a2 + 3 ab + 3 b2 ) = a - bn2 - 3n + nn2 - 3n + n)) = lim-3n n2 - 3n + n=-3 2Trang 60Trần Sĩ TùngĐại số 11 thì lim un = 0· Dùng định lí kẹp: Nếu un £ vn ,n và lim vn = 0VD: a) Tính limsin n sin n 1 1 sin n . Vì 0 £ £ và lim = 0 nên lim =0 n n n n n 3sin n - 4 cos n b) Tính lim . Vì 3sin n - 4 cos n £ (32 + 42 )(sin 2 n + cos2 n) = 5 2 2n + 1 3sin n - 4 cos n 5 nên 0 £ . £ 2n 2 + 1 2 n2 + 1 5 3sin n - 4 cos n Mà lim = 0 nên lim =0 2n2 + 1 2n2 + 1Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây: · Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0. · Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu. · Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +¥ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –¥ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.Baøi 1: Tính các giới hạn sau: a) lim d) lim 2 n2 - n + 3 3n2 + 2n + 1 n4 b) lim e) lim 2n + 1 n3 + 4 n2 + 3 n2 + 1 2n4 + n + 1 4.3n + 7n+1 2.5n + 7n 1 + 2.3n - 7n 5n + 2.7n n2 + 3 - n - 4 n2 + 2 + n (2n n + 1)( n + 3) (n + 1)(n + 2) c) lim f) lim 3n 3 + 2 n 2 + n n3 + 4 2 n 4 + n2 - 3 3n3 - 2n2 + 1 4 n+1 + 6n + 2(n + 1)(2 + n)(n 2 + 1) Baøi 2: Tính các giới hạn sau: a) lim d) lim 1 + 3n 4 + 3n 2 n + 5n+1b) lim e) limc) lim f) lim5n + 8n 1 - 2.3n + 6 n 2 n (3n+1 - 5) n2 + 1 - n6 n 4 + 1 + n2 n2 - 4n - 4 n2 + 1 3n2 + 1 + n31 + 5n Baøi 3: Tính các giới hạn sau: a) lim d) lim 4 n2 + 1 + 2n - 1 n2 + 4 n + 1 + n 4n2 + 1 + 2 nb) lim e) limc) lim f) limn2 + 4n + 1 + n Baøi 4: Tính các giới hạn sau: æ 1 ö 1 1 a) lim ç + + ... + ÷ (2n - 1)(2n + 1) ø è 1.3 3.5 æ æ 1 öæ 1 ö 1 ö c) lim ç 1 - ÷ ç 1 - ÷ ... ç 1 - ÷ 2 2 è 2 øè 3 ø è n2 ø e) lim 1 + 2 + ... + n n 2 + 3næ 1 1 1 ö b) lim ç + + ... + ÷ n(n + 2) ø è 1.3 2.4 æ 1 1 1 ö d) lim ç + + ... + ÷ n(n + 1) ø è 1.2 2.3 f) lim 1 + 2 + 22 + ... + 2 n 1 + 3 + 32 + ... + 3nTrang 61Đại số 11 Baøi 5: Tính các giới hạn sau: a) limTrần Sĩ Tùng( n2 + 2n - n - 1) d) lim (1 + n2 - n 4 + 3n + 1 )g) lim 4 n2 + 1 - 2n - 1( e) lim (b) lim h) limn 2 + n - n2 + 2 n2 - n - n3)c) lim f) lim i) lim( 3 2n - n3 + n - 1)1 n2 + 2 - n2 + 4 n2 - 4n - 4 n2 + 1 3n 2 + 1 - n 2 - 2 n cos n 3n + 1 3n2 - 2 n + 2 n(3cos n + 2))n2 + 1 - n6 n 4 + 1 - n2 (-1)n sin(3n + n2 ) 3n - 1 3sin 2 (n3 + 2) + n2n2 + 4 n + 1 - n Baøi 6: Tính các giới hạn sau: a) lim d) lim 2 cos n2 n2 + 1 3sin 6 n + 5 cos2 (n + 1) n2 + 1b) lim e) limc) lim f) lim2 - 3n2 æ 1 öæ 1 ö æ 1 ö Baøi 7: Cho dãy số (un) với un = ç 1 - ÷ç 1 - ÷ ... ç 1 - ÷ , với n ³ 2. è 22 øè 32 ø è n 2 ø a) Rút gọn un. b) Tìm lim un. 1 1 1 Baøi 8: a) Chứng minh: = (n Î N*). n n + 1 + (n + 1) n n n +1 1 1 1 b) Rút gọn: un = + + ... + . 1 2 +2 1 2 3 +3 2 n n + 1 + (n + 1) n c) Tìm lim un. ìu = 1 ï 1 Baøi 9: Cho dãy số (un) được xác định bởi: í . 1 ïun+1 = un + n (n ³ 1) 2 î a) Đặt vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 + … + vn theo n. b) Tính un theo n. c) Tìm lim un. ìu = 0; u2 = 1 Baøi 10: Cho dãy số (un) được xác định bởi: í 1 î2un+ 2 = un+1 + un , (n ³ 1) 1 a) Chứng minh rằng: un+1 = - un + 1 , n ³ 1. 2 2 b) Đặt vn = un – . Tính vn theo n. Từ đó tìm lim un. 3Trang 62Trần Sĩ Tùng II. Giới hạn của hàm số Giới hạn hữu hạn 1. Giới hạn đặc biệt: lim x = x0 ; li ...