Đại số tuyến tính

Trong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, Đại số tuyến tính là môn cơ bản, là môn thi bắt buộc đối với mọi thí sinh thi vào sau đại học ngành toán - cụ thể là các chuyên ngành: PPGD, Đại số, Giải tích, Hình học.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đại số tuyến tính Đ IS TUY N TÍNH PGS. TS M Vinh Quang Ngày 11 tháng 10 năm 2004 M Đu Trong các kỳ thi tuy n sinh sau đ i h c, Đ i s tuy n tính là môn cơ b n, là môn thi b tbu c đ i v i m i thí sinh thi vào sau đ i h c ngành toán - c th là các chuyên ngành : PPGD,Đ i s , Gi i tích, Hình h c. Các bài vi t này nh m cung c p cho các b n đ c m t cách có h th ng và ch n l c các ki nth c và k năng cơ b n nh t c a môn h c Đ i s tuy n tính v i m c đích giúp nh ng ngư id thi các kỳ tuy n sinh sau đ i h c ngành toán có đư c s chu n b ch đ ng, tích c c nh t. Vì là các bài ôn t p v i s ti t h n ch nên các ki n th c trình bày s đư c ch n l c vàbám sát theo đ cương ôn t p vào sau đ i h c. Tuy nhiên, đ d dàng hơn cho b n đ c th tcác v n đ có th thay đ i. Cũng chính b i các lý do trên các bài vi t này không th thay thm t giáo trình Đ i s tuy n tính hoàn ch nh. B n đ c quan tâm có th tham kh o thêm m ts sách vi t v Đ i s tuy n tính, ch ng h n : 1. Nguy n Vi t Đông - Lê Th Thiên Hương ... Toán cao c p T p 2 - Nxb Giáo d c 1998 2. Jean - Marie Monier. Đ i s 1 - Nxb Giáo d c 2000 3. Ngô Thúc Lanh Đ i s tuy n tính - Nxb Đ i h c và Trung h c chuyên nghi p 1970 4. Bùi Tư ng Trí. Đ i s tuy n tính. 5. M Vinh Quang Bài t p đ i s tuy n tính. Bài 1: Đ NH TH C Đ hi u đư c ph n này, ngư i đ c c nph i n m đư c khái ni m v ma tr n và các phéptoán trên ma tr n (phép c ng, tr , nhân hai ma tr n). Các khái ni m trên khá đơn gi n, ngư iđ c có th d dàng tìm đ c trong các sách đã d n trên. 11 Đ nh nghĩa đ nh th c1.1 Đ nh th c c p 2, 3 • Cho A là ma tr n vuông c p 2 : a11 a12 A= a21 a22 đ nh th c (c p 2) c a A là m t s , ký hi u det A (ho c |A|) xác đ nh như sau : a11 a12 = a11 a22 − a12 a21 det A = (1) a21 a22 • Cho A là ma tr n vuông c p 3 :   a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23  a31 a32 a33 đ nh th c (c p 3) c a A là m t s ký hi u det A (ho c |A|), xác đ nh như sau : det A = a11 a12 a13 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 (2) a21 a22 a23 a31 a32 a33 Công th c khai tri n ( 2 ) thư ng đu c nh theo quy t c Sarrus như sau : Ví d : −1 2 3 1 −2 1 = [(−1)(−2).4 + 2.1.(−1) + 1.0.3] − [3.(−2).(−1) + 1.0.(−1) + 2.1.4] = −8 −1 0 4 N u ta ký hi u Sn là t p h p các phép th b c n thì các công th c ( 1 ) và ( 2 ) có th vi t l i như sau : det A = s(f )a1f (1) a2f (2) và det A = s(f )a1f (1) a2f (2) a3f (3) f ∈S2 f ∈ S3 T đó g i ý cho ta cách đ nh nghĩa đ nh th c c p n như sau. 21.2 Đ nh th c c p n Cho A là ma tr n vuông c p n :   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n   A=   . . . ... . . .  . . .   an1 an2 · · · annđ nh th c ( c p n) c a ma tr n A là m t s , ký hi u det A (ho c |A|), xác đ nh như sau : a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n det A = = s(f )a1f (1) a2f (2) ...anf (n) (3) . . . .. . . . . . . . f ∈ Sn an1 an2 · · · ann Ch c ch n là đ i v i m t s b n đ c, (nh t là b n đ c không th o v phép th ) đ nh nghĩađ nh th c tương đ i khó hình dung. Tuy nhiên, r t may là khi làm vi c v i đ nh th c, (k ckhi tính đ nh th c) đ nh nghĩa trên hi m khi đư c s d ng mà ta ch y u s d ng các tínhch t c a đ nh th c. B i v y, b n đ c n u chưa có đ th i gian có th t m b qua đ nh nghĩatrên và c n ph i n m v ng các tính ch t sau c a đ nh th c.2 Các tính ch t c a đ nh th c2.1 Tính ch t 1 Đ nh th c không thay đ i qua phép chuy n v , t c là : det At = detA (At : ma tr n chuy nv c a ma tr n A)Ví d : 123 147 456 258 = 789 369Chú ý : T tính ch t này, m t m nh đ v đ nh th c n u đúng v i dòng thì cũng đúng v ic t và ngư c l i.2.2 Tính ch t 2 N u ta đ i ch hai dòng b t kỳ (ho c 2 c t b t kỳ) c ...