Dao động tham số của hệ phi tuyến cấp ba có chứa ma sát Coulomb và cản nhớt cấp phân số

Bài viết nghiên cứu cộng hưởng điều hòa của hệ phi tuyến cấp ba có chứa ma sát Coulomb và cản nhớt cấp phân số sử dụng phương pháp tiệm cận. Nghiệm xấp xỉ giải tích được xác định và đường cong biên độ tần số được thiết lập. Sau đó, khảo sát điều kiện ổn định của nghiệm điều hòa bằng lý thuyết Lyapunov.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Dao động tham số của hệ phi tuyến cấp ba có chứa ma sát Coulomb và cản nhớt cấp phân sốToán học, Cơ học & Ứng dụng DAO ĐỘNG THAM SỐ CỦA HỆ PHI TUYẾN CẤP BA CÓ CHỨA MA SÁT COULOMB VÀ CẢN NHỚT CẤP PHÂN SỐ Nguyễn Văn Khang1*, Trần Đình Sơn2, Bùi Thị Thúy2, Trương Quốc Chiến1 Tóm tắt: Bài báo nghiên cứu cộng hưởng điều hòa của hệ phi tuyến cấp ba có chứa ma sát Coulomb và cản nhớt cấp phân số sử dụng phương pháp tiệm cận. Nghiệm xấp xỉ giải tích được xác định và đường cong biên độ tần số được thiết lập. Sau đó, khảo sát điều kiện ổn định của nghiệm điều hòa bằng lý thuyết Lyapunov. Các kết quả số cũng được xem xét và cho thấy ảnh hưởng của các tham số trong đạo hàm cấp phân số đối với biên độ dao động dừng, đường cong biên độ tần số và điều kiện ổn định của hệ.Từ khóa: Đạo hàm cấp phân số; Dao động tham số; Phương pháp tiệm cận; Cộng hưởng điều hòa; Đườngcong biên độ tần số. 1. MỞ ĐẦU Năm 1819, lần đầu tiên khái niệm đạo hàm cấp n với n là số tùy ý được đề cập đến.Khoảng giữa các năm 1832 đến 1835, Liouville đã công bố một vài bài báo về vấn đề này.Năm 1847, Riemann đã đưa ra định nghĩa đạo hàm cấp phân số dựa theo các công trìnhcủa Liouville. Năm 1967, Caputo đưa ra một phương án mới về định nghĩa đạo hàm cấpphân số [19, 21-23]. Trong vòng ba thế kỷ, lý thuyết về đạo hàm cấp phân số được pháttriển chủ yếu như là một lĩnh vực lý thuyết thuần tuý của toán học và chỉ hữu ích cho cácnhà toán học. Tuy nhiên, một vài thập kỷ gần đây, nhiều tác giả đã chỉ ra rằng đạo hàm vàtích phân cấp không nguyên rất phù hợp cho sự mô tả tính chất của các vật liệu thực khácnhau, chẳng hạn như polymer. Sự xem xét về mặt vật lý càng cho thấy việc sử dụng cácmô hình dựa trên đạo hàm cấp không nguyên là hợp lý và phù hợp [1-3, 7-13]. Ở Việt Nam, các nghiên cứu áp dụng khái niệm đạo hàm cấp phân số đã được quan tâmnghiên cứu trong vòng một thập kỷ vừa qua [14]. Một số kết quả nghiên cứu ban đầu đãđược công bố [4, 15-18, 24-26]. Bài báo này trình bày ảnh hưởng của cản nhớt cấp phânsố và lực ma sát Coulomb đến tính chất dao động của một hệ phi tuyến cấp ba. 2. THIẾT LẬP BIỂU THỨC NGHIỆM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TIỆM CẬN Xét dao động tham số của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba có dạng sau  x    x   2 x   2 x    k x3  hx 3  h0 sign x (1)  p D p x  cx cos t   0trong đó:  ,  , k , h, h0 ,  p , c,  là những hằng số. D p x là đạo hàm cấp phân số của x  t  . Giả thiết hệ có cộng hưởng    2 1   2  ,    2 (2) Khi đó, phương trình (1) có thể được viết lại như sau: 2 2  x    x x   x   f  x, x ,  x, D p x    cx cos t  0 (3) 4 4trong đó: f  x, x ,  x    x   x  k x3  hx 3  h0 sign x (4) Nghiệm riêng hai tham số của phương trình (3) được tìm dưới dạng chuỗi [5, 20]276 N. V. Khang, …, T. Q. Chiến, “Dao động tham số của hệ … cản nhớt cấp phân số.”Nghiên cứu khoa học công nghệ         x  a cos  t      u1  a, , t    2u2  a, , t    (5) 2   2   2 trong đó: us  a, ,   là những hàm chu kỳ 2 đối với  và  ; a và  được xác địnhtừ những phương trình sau: da   A1  a,    2 A2  a,    dt (6) d   B1  a,    2 B2  a,    dt Để xác định các hàm us , As , Bs ta tính dx   u    a sin     A1 cos   aB1 sin   1    2  (7) dt 2  t  d 2x 2  2u1    a cos     1 A sin   aB1 cos    dt 2 4 t 2  (8)  2  d 3 x 3  3 2 3 2  3u1   a sin       A1 cos    aB1 sin  ...