ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Tham khảo tài liệu đạo hàm và vi phân, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Ch¬ng 4 §¹o hµm vµ vi ph©n4.1 §¹o hµm1. §Þnh nghÜa XÐt hµm f(x) x¸c ®Þnh t¹i x 0 vµ l©n cËn x0. Cho x0 sè gia ∆x cã trÞ tuyÖt ®èi kh¸ bÐ.NÕu tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n: f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆f ( x ) lim = lim ∆x → 0 ∆x ∆x →0 ∆xth× giíi h¹n ®ã ®îc gäi lµ ®¹o hµm cña f(x) t¹i ®iÓm x0, ký hiÖu: f’(x0). Theo tÝnh liªn hÖ gi÷a hµm cã giíi h¹n vµ VCB, nÕu tån t¹i f’(x) th× ta cã: ∆f ( x) = f ( x + ∆x ) − f ( x) = f ( x).∆x + α . ∆x (1)trong ®ã α→0 khi ∆x→0. Nh vËy nÕu f(x) cã ®¹o hµm f’(x) th× ∆f(x) vµ ∆x lµ hai VCB cïngcÊp khi ∆x→0, hay nÕu f(x) cã ®¹o hµm t¹i x th× nã liªn tôc t¹i x. NÕu f(x) x¸c ®Þnh t¹i x0 vµ l©n cËn ph¶i cña nã vµ tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n: f ( x0 + ∆x) − f ( x 0 ) lim ∆x → + 0 ∆xth× giíi h¹n ®ã ®îc gäi lµ ®¹o hµm ph¶i cña f(x) t¹i ®iÓm x0, ký hiÖu: f’ (x0+0). NÕu f(x) x¸c ®Þnh t¹i x0 vµ l©n cËn tr¸i cña nã vµ tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n: f ( x0 + ∆x) − f ( x 0 ) lim ∆x → − 0 ∆xth× giíi h¹n ®ã ®îc gäi lµ ®¹o hµm tr¸i cña f(x) t¹i ®iÓm x0, ký hiÖu: f’ (x0-0). NÕu: f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) lim =∞ ∆x → 0 ∆xth× ta nãi f(x) cã ®¹o hµm v« cïng t¹i x0, ký hiÖu f’(x0)= ∞ . NÕu ∀x∈(a,b) ®Òu tån t¹i f’(x) th× ta nãi f(x) cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a,b), nÕu f(x) c㮹o hµm ∀x∈(a,b) vµ cã ®¹o hµm ph¶i t¹i a, vµ ®¹o hµm tr¸i t¹i b, th× ta nãi f(x) cã ®¹o hµmtrªn [a,b]. VÝ dô 4.1: a. T×m ®¹o hµm tr¸i vµ ph¶i t¹i x=1 cña f(x)= x − 1 sin πx 1 + ∆x − 1 sin π (1 + ∆x ) − 0 sin π f’(1-0)= lim ∆x → − 0 ∆x − ∆x sin π∆x = lim =0 ∆x → − 0 ∆x 1 + ∆x − 1 sin π (1 + ∆x ) − 0 sin π f’(1+0)= lim ∆x → + 0 ∆x − ∆x sin π∆x = lim =0 ∆x → + 0 ∆xNh vËy f’(1-0)=f’(1+0)=0 nªn tån t¹i f’(1)=0. b. T×m ®¹o hµm tr¸i vµ ph¶i t¹i x=0 cña  x x ∆2 x − 0 f’(+0)= lim =0 ∆x → + 0 ∆x ∆x − ∆x f’(- 0)= lim = lim = −1 ∆x → −0 ∆x ∆x → −0 ∆xNh vËy f’(-0)≠ f’(+0) nªn kh«ng tån t¹i ®¹o hµm f’(0). VÝ dô 4.2: a. Cho f(x)= sin x. Ta cã: ∆f ( x ) sin( x + ∆x) − sin x lim = lim ∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x  ∆x   ∆x  2 sin   cos x +  =  2   2  lim = cos x ∆x → 0 ∆x Nh vËy hµm f(x)=sin x cã f’(x)=cos x (x∈R) b. f(x)= ex, cã: e x + ∆x − e x e ∆x − 1 lim = lim e x = ex ∆x → 0 ∆x ∆x →0 ∆x2. ý nghÜa cña ®¹o hµm a. ý nghÜa h×nh hocGi¶ sö t¹i c, f(x) cã ®¹o hµm f’(c). VÏ ®å thÞ hµm f(x) trong hÖ to¹ ®é §Ò c¸c th× tû sè: f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆xChÝnh lµ hÖ sè gãc cña d©y cung M 0M víi M0(x0,f(x0)) vµM(x0+∆x,f(x0+∆x)). Khi cho ∆x→0 th× ®iÓm M trªn ®å thÞ dÇn®Õn ®iÓm M0, do ®ã c¸t tuyÕn M0M dÇn ®Õn tiÕptuyÕn M0T vµ f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )khi ®ã: dÇn H×nh 4 ∆x®Õn tgα=f’(x0) lµ hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i M0. VËy tgα=f’(x). §ã lµ ý nghÜa h×nh häccña ®¹o hµm. Tõ ®ã ta cã ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®êng cong t¹i x0. y=f’(x0)(x-x0)+f(x0) Chó ý: NÕu f’(x0)= ∞ th× tiÕp tuyÕn víi ®êng cong y=f(x) t¹i x0 song song víi trôc Oy. b. ý nghÜa c¬ häc XÐt mét chuyÓn ®éng th¼ng cã ph¬ng tr×nh s=s(t) t¹i thêi ®iÓm t 0. Trong kho¶ng thêigian gi÷a t0 vµ t0+∆t, (∆t>0 hoÆc ∆t ∆y = y u ∆u + α .∆u ,trong ®ã α→0 khi ∆u→0. Do ®ã: ∆y , ∆u ∆u lim = lim y u + lim α = y u .u x , , ∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x VÝ dô 4.3: a. f(x)= ax=exlna do ®ã: (ax) ...