ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN LẦN THỨ XVIII(2010) MÔN GIẢI TÍCH

Tham khảo tài liệu 'đáp án olympic toán sinh viên lần thứ xviii(2010) môn giải tích', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN LẦN THỨ XVIII(2010) MÔN GIẢI TÍCH H I TOÁN H C VI T NAM B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN L N TH XVIII (2010) Môn: Gi i tích Câu 1. Cho hàm s f (x) = ln(x + 1). a) Ch ng minh r ng v i m i x > 0, t n t i duy nh t s th c c th a mãn đi u ki n f (x) = xf (c) mà ta ký hi u là c(x). c(x) b) Tìm lim . x x→0+ Gi i. a) Yêu c u bài toán tương đương v i vi c ch ng minh phương trình ln(x + 1) 1 = x c+1 có nghi m duy nh t c v i m i x > 0. Ta có th gi i tr c ti p đư c x − 1. c= ln(x + 1) b) Ta có th tính gi i h n x −1 x − ln(1 + x) c(x) ln(x + 1) lim = lim = lim x x x ln(1 + x) x→0+ x→0+ x→0+ b ng cách s d ng công th c Taylor: ln(1 + x) = x − x2 /2 + o(x2 ) ho c dùng quy t c L’Hopitale: x − ln(1 + x) x − ln(1 + x) x lim = lim lim x2 x ln(1 + x) ln(1 + x) x→0+ x→0+ x→0+ 1 1− 1 1 1+x = lim lim = . 1 2x 2 x→0+ x→0+ 1+x Câu 2. Cho dãy {xn } đư c xác đ nh b i: x1 = 1, xn+1 = xn 1 + x2010 , n = 1, 2, . . . n Tìm x2010 x2010 x2010 1 2 n + ··· + lim + . n→∞ x2 x3 xn+1 Gi i. V i m i k ≥ 1, ta có x2010 x2011 xk+1 − xk 1 1 k k − = = = . xk+1 xk xk+1 xk xk+1 xk xk+1 Suy ra x2010 x2010 x2010 1 1 1 2 n + ··· + − + = . x2 x3 xn+1 x1 xk+1 Rõ ràng {xn } là dãy tăng. Nh n xét r ng lim xn = +∞. Suy ra gi i h n n→∞ c n tính b ng 1. Câu 3. Cho a ∈ R và hàm s f (x) kh vi trên [0, ∞) th a mãn các đi u ki n f (0) ≥ 0 và f (x) + af (x) ≥ 0, ∀x ∈ [0, ∞). Ch ng minh r ng f (x) ≥ 0, ∀x ≥ 0. Gi i. T gi thi t ta có eax [f (x) + af (x)] ≥ 0, ∀x ∈ [0, ∞), hay [eax f (x)] ≥ 0, ∀x ∈ [0, ∞), suy ra eax f (x) ≥ f (0) ≥ 0, ∀x ∈ [0, ∞), tc f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [0, ∞). Câu 4. Cho hàm f (x) kh vi liên t c trên [0, 1] . Gi s r ng 1 1 f (x)dx = xf (x)dx = 1. 0 0 Ch ng minh r ng t n t i đi m c ∈ (0, 1) sao cho f (c) = 6. Gi ...