DẤU HIỆU TRỤC ĐỐI XỨNG, TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM ĐA THỨC

Trục đối xứng và tâm đối xứng của đồ thị hàm số là những tính chất hình học quan trọng của hàm số, nó liên quan đến nhiều bài toán mà khi giải sử dụng tới nó thì đạt được kết quả nhanh chóng. Vấn đề đặt ra là đối với một hàm số cho trước làm thế nào nhanh chóng biết được đồ thị của nó có trục đối xứng hay tâm đối xứng không ?
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
DẤU HIỆU TRỤC ĐỐI XỨNG, TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM ĐA THỨCDẤU HIỆU TRỤC ĐỐI XỨNG, TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM ĐA THỨC G/v: Nguyễn Văn Nhiệm Trường THPT chuyên lam Sơn, Thanh hoáTrục đối xứng và tâm đối xứng của đồ thị hàm số là những tính chất hình họcquan trọng của hàm số, nó liên quan đến nhiều bài toán mà khi giải sử dụng tớinó thì đạt được kết quả nhanh chóng. Vấn đề đặt ra là đối với một hàm số chotrước làm thế nào nhanh chóng biết được đồ thị của nó có trục đối xứng hay tâmđối xứng không ? Và hãy tìm trục đối xứng, tâm đối xứng đó nếu có.Trong bài viết này tôi xin giới thiệu một phương pháp sử dụng đạo hàm giảiquyết một lớp bài toán của yêu cầu trên, đó là lớp đồ thị các hàm đa thức. I. LÝ THUYẾTCho f ( x) = a0 + a1 x + ... + an x n (an ≠ 0) (1) là một đa thức với các hệ sốthực, đối số x ∈ . Gọi đồ thị hàm số (1) là (C).Ta dễ dàng chứng minh được các nhận xét sau: • Nếu f ( x) là đa thức hằng, hoặc đa thức bậc nhất thì mọi đường thẳng vuông góc với nó đều là trục đối xứng của đồ thị và mọi điểm nằm trên đồ thị đều là tâm đối xứng của của đồ thị.Bây giờ giả sử deg ( f ) = n ≥ 2. • Nếu đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng thì n là số tự nhiên lẻ và tâm đối xứng thuộc đồ thị. • Nếu đồ thị hàm số (1) có trục đối xứng thì n là số tự nhiện chẵn và trục đối xứng cùng phương với trục O y .Ghi chú. Ở đây kí hiệu f ( k ) ( x), k ∈ * là đạo hàm cấp k của hàm số f ( x), vàf ( 0) ( x) = f ( x). Ta viết f ( x) = a0 + a1 x + ... + an x n (an ≠ 0, n ≥ 2) dưới dạng f ( x) = b0 + b1 ( x − x0 ) + ... + bn ( x − x0 ) n (2).Thế x = x0 vào (2), ta được b0 = f ( x0 ).Để xác định b1 , b2 ,..., bn ta lần lượt đạo hàm hai vế của (2) theo x từ cấp 1 đếncấp n: f ( x) = b1 + 2b2 ( x − x0 ) + ... + nbn ( x − x0 ) n−1 f ( x) = 1.2b2 + ... + n(n − 1)bn ( x − x0 ) n−2 ..... f ( k ) ( x) = k !bk + ... + n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1)( x − x0 ) n−k f ( n ) ( x) = n!bn . 1Thay x = x0 vào các hệ thức trên ta được f ( k ) ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) b1 = ; b2 = ; ...; bk = ;...; bn = . 1! 2! k! n! f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) ( x − x0 ) n .Do đó f ( x) = f ( x0 ) + (3) ( x − x0 ) + ... + 1! n! uurXét phép tịnh tiến hệ trục toạ độ O xy theo vectơ OI = ( x0 ; f ( x0 ) , ta có công  x = X + x0thức chuyển hệ trục toạ độ  . y = Y + f ( x0 ) Trong đó I ( x0 ; f ( x0 ) là toạ độ của điểm I đối với hệ trục Oxy; M ( x; y ), M ( X ;Y ) lần lượt là toạ độ của điểm M đối các hệ trục Oxy, IXY .Trong hệ trục IXY đồ thi (C) có phương trình: f ( n ) ( x0 ) n f ( x0 ) f ( x0 ) 2Y = f ( x0 ) + X+ X + ... + X . (4) 1! 2! n!Từ (4) suy ra: • Đồ thị (C) nhận đường thẳng x = x0 làm trục đối xứng khi và chỉ khi hàm số (4) là hàm số chẵn. • Đồ thị (C) nhận điểm I ( x0 ; f ( x0 )) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi hàm số (4) là hàm số lẻ.Vậy ta có các kết quả sauMệnh đề 1.Đồ thị hàm đa thức y = f ( x) ( deg ( f ) ≥ 2 ) nhận đường thẳng x = x0 làmtrục đối xứng khi và chỉ khi x0 là nghiệm của các phương trình f ( 2 k +1) ( x) = 0, ∀ k ∈ .Mệnh đề 2.Đồ thị hàm đa thức y = f ( x) ( deg ( f ) ≥ 2) nhận điểm I ( x0 ; f ( x0 )) làm tâm đốixứng khi và chỉ khi x0 là nghiệm của các phương trình f ( 2 k ) ( x) = 0, ∀ k ∈ *.Hệ quả. Phương trình f ( x) = a2 n x 2 n + a2 n−1 x 2 n−1 + ... + a0 = 0, (a2 n ≠ 0, n ≥ 1)chuyển về dạng a2 n X n + An−1 X n−1 + ... + A0 = 0 khi và chỉ khi đồ thị của hàm sốy = f ( x) có trục đối xứng cùng phương với trục O y. II. MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG 1Ví dụ 1. Giải phương trình x 4 − 2 x3 + x −= 0, ( x ∈ ). 4 1 1Phân tích: Đồ thị hàm số y = x 4 − 2 x3 + x − , nhận đường thẳng x = làm 4 2trục đối xứng. 1Vậy ta có lời giải sau: Đặt x = + X ta được phương trình 2 2 321 3 1 X4 − X + =0⇔ X =± ± . 2 16 4 2 1 3 1Vậy x = ± ± . 2 4 2Ví dụ 2. Tìm a để đồ thị hàm số y = x 4 + 4ax3 − 2 x 2 − 12ax có trục đối xứng.Giải. Ta có y = 4 x3 + 12ax 2 − 4 x − 12a, y = 12 x 2 + 24ax − 4, y = 24 x + 24a. ...