Đề cương bài giảng Toán cơ sở: Phần 2- Nguyễn Thị Tuyết Mai

Nội dung Phần 2 Đề cương bài giảng Toán cơ sở gồm 3 chương trình bày các nội dung về định thức, ma trận, hệ phương trình tuyến tính; số tự nhiên; đại số vec tơ và hình học giải tích. Mời bạn đọc tham khảo tài liệu để hiểu rõ hơn về các nội dung trên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề cương bài giảng Toán cơ sở: Phần 2- Nguyễn Thị Tuyết Mai Ch−¬ng 3: §Þnh thøc, ma trËn, hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh3.1. Ma trËn3.1.1. §Þnh nghÜa: Cho m, n ∈ . Mét b¶ng gåm m × n sè (thùc hoÆc phøc) s¾pthµnh m dßng, n cét, kÝ hiÖu: ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎡ a11 a12 ... a1n ⎤ ⎜a a22 ... a2 n ⎟ ⎢a a22 ... a2 n ⎥ A = ⎜ 21 ⎟ hoÆc A = ⎢ 21 ⎥ ⎜ ... ... ... ... ⎟ ⎢ ... ... ... ... ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ am1 am 2 ... amn ⎠ ⎣ am1 am 2 ... amn ⎦®−îc gäi lµ mét ma trËn cì (m, n) (hoÆc m × n ). Trong ®ã: +) aij víi mäi 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n ®−îc gäi lµ phÇn tö n»m ë dßng thø i, cétthø j cña ma trËn A. i, j ®−îc gäi t−¬ng øng lµ chØ sè dßng vµ chØ sè cét cña phÇntö aij . +) m, n ®−îc gäi t−¬ng øng lµ sè dßng, sè cét cña ma trËn A Ma trËn A cì (m, n) cã phÇn tö n»m ë dßng thø i, cét thø j ®−îc ký hiÖulµ A = (aij ) m×n = (aij )( m, n ) . +) NÕu m ≠ n th× A ®−îc gäi lµ ma trËn (ch÷ nhËt) cì (m, n). m = n th× A ®−îc gäi lµ ma trËn vu«ng cÊp n. m=1 th× A ®−îc gäi lµ ma trËn dßng. n =1 th× A ®−îc gäi lµ ma trËn cét. +) NÕu aij ∈ víi mäi 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n th× A ®−îc gäi lµ ma trËn thùc. NÕu aij ∈ víi mäi 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n th× A ®−îc gäi lµ ma trËn phøc.KÝ hiÖu: Mat(m,n) lµ tËp c¸c ma trËn cì (m,n). ⎛1 0 2⎞*) VÝ dô: +) A = ⎜ −2 3 −1⎟ lµ mét ma trËn ch÷ nhËt cì (2,3) víi c¸c phÇn tö ⎝ ⎠a11 = 1; a12 = 0; a13 = 2; a21 = −2; a22 = 3; a23 = −1. 40 ⎛1 3⎞ +) A = ⎜ ⎟ lµ ma trËn vu«ng cÊp 2 víi c¸c phÇn tö a11 = 1; a12 = 3; ⎝ 2 4⎠a21 = 2; a22 = 4 . +) A = (1 −2 0 3) lµ ma trËn dßng cì (1, 4). ⎛ 0⎞ +) A = ⎜ 1 ⎟ lµ ma trËn cét cì (3,1). ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ Tõ ®©y vÒ sau ta chØ xÐt c¸c ma trËn thùc.3.1.2. Mét sè ma trËn d¹ng ®Æc biÖta) Ma trËn kh«ng§Þnh nghÜa: Mét ma trËn mµ mäi phÇn tö ®Òu b»ng kh«ng ®−îc gäi lµ ma trËnkh«ng, kÝ hiÖu: 0. ⎛0 0⎞ ⎛0⎞ ⎛ 0 0 0⎞VÝ dô: A = ⎜ , B = ⎜ ⎟, C = ⎜ ⎝0 0⎟ ⎠ ⎝0⎠ ⎟ ⎝ 0 0 0⎠b) Ma trËn chÐo§Þnh nghÜa: Mét ma trËn vu«ng cÊp n A = (aij ) ®−îc gäi lµ ma trËn chÐo nÕu ⎛ a11 0..........0 ⎞ ⎜ ⎟aij = 0 ∀i ≠ j , tøc lµ A cã d¹ng A = ⎜ 0 a22 .........0 ⎟ . §−êng th¼ng ®i qua a ⎜ ...................... ⎟ ii ⎜ ⎟ ⎝ 0 0..........ann ⎠®−îc gäi lµ ®−êng chÐo, c¸c phÇn tö aii ®−îc gäi lµ phÇn tö chÐo cña ma trËn A. ⎛1 0 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟VÝ dô: A = ⎜ ⎟ ; A = ⎜0 0 0⎟ ⎝0 -1⎠ ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠c) Ma trËn ®¬n vÞ§Þnh nghÜa: Mét ma trËn chÐo mµ mäi phÇn tö chÐo aii ®Òu b»ng 1 ®−îc gäi lµma trËn ®¬n vÞ, ký hiÖu I (hoÆc I n nÕu muèn chØ râ cÊp cña I ). 41Nãi c¸ch kh¸c: ma trËn vu«ng cÊp n mµ mäi phÇn tö aii ®Òu b»ng 1, mäi phÇn töaij , ∀i ≠ j ®Òu b»ng 0 ®−îc gäi lµ ma trËn ®¬n vÞ. ⎛1 0 0 ⎞ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟VÝ dô: A = ⎜ ⎟ , B = ⎜ 0 1 0 ⎟ , C = (1) . ⎝0 1⎠ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠d) Ma trËn tam gi¸c§Þnh nghÜa: Ma trËn vu«ng cÊp n A = (aij ) ®−îc gäi lµ ma trËn tam gi¸c trªn(d−íi) nÕu aij = 0, ∀i > j ( ∀i < j ) ⎛ a11 a12 ... ... a1n ⎞ ⎛ a11 0 ... 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 a22 ... ... a2 n ⎟ ⎜ a21 a22 ... 0 0 ⎟Tæng qu¸t: A = ⎜ ... ... ... ... ... ⎟ ; A = ⎜ ... ... ... ... ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 ... a( n −1)( n −1) a( n −1) n ⎟ ⎜ a( n −1)1 ... ... a( n −1)( n −1) 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ a ...