Đề cương ôn tập thi cuối học kỳ Môn Xác suất - Thống kê

Yêu cầu ôn tập: Phải nắm vững và vận dụng các khái niệm cơ bản và các công thức sau để làm 3 bài tập trong 90 phút: Sự kiện ngẫu nhiên, mối quan hệ giữa các sự kiện ngẫu nhiên, không gian mẫu, định nghĩa xác suất theo tiên đề, công thức cộng (và nhân) xác suất, xác suất có điều kiện, công thức xác suất toàn phần, công thức Bayes. Tính độc lập của 2 sự kiện. Thí nghiệm Béc nu li và xác suất nhị thức....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề cương ôn tập thi cuối học kỳ Môn Xác suất - Thống kê Đề cương ôn tập thi cuối học kỳ Môn XS-TK (2 tín chỉ) K53 V và QH-2008-I/CQ M I, Yêu cầu ôn tập Phải nắm vững và vận dụng các khái niệm cơ bản và các công thức sau để làm 3 bài tập trong 90 phút: 1) Sự kiện ngẫu nhiên, mối quan hệ giữa các sự kiện ngẫu nhiên, không gian mẫu, định nghĩa xác suất theo tiên đề, công thức cộng (và nhân) xác suất, xác suất có điều kiện, công thức xác suất toàn ph ần, công th ức Bayes. Tính độc lập của 2 sự kiện. Thí nghiệm Béc nu li và xác su ất nh ị thức. 2) Định nghĩa biến ngẫu nhiên và hàm phân ph ối, hàm xác su ất và hàm mật độ xác suất. Các công thức tính kỳ vọng và phương sai trong trường hợp X là rời rạc hay liên tục. Định nghĩa và tính chất của các bi ến ngẫu nhiên phân phối Béc nu li, nhị thức, Poát xông, phân phối đều trên đoạn [a, b], phân phối mũ và phân phối chuẩn. 3) Định nghĩa véc tơ ngẫu nhiên, hàm phân phối đồng thời, biên duyên và hàm phân phối có điều kiện, hàm xác suất đồng thời, biên duyên và hàm xác suất có điều kiện, hàm mật độ xác suất đồng thời, biên duyên và hàm mật độ có điều kiện của véc tơ ngẫu nhiên (X,Y). Hiệp phương sai và h ệ số tương quan; tính độc lập , tính không tương quan của hai biến ngẫu nhiên. 4) Mẫu ngẫu nhiên đơn giản, phân phối mẫu. Công thức tính kỳ vọng mẫu, X , phương sai mẫu (đã hiệu chỉnh) S 2 . 5) Cách đặt vấn đề của bài toán ước lượng và bài toán ki ểm đ ịnh gi ả thuyết. Định nghĩa và cho ví dụ về ước lượng không chệch. Các bước tìm ước lượng hợp lý cực đại. Khoảng tin cậy của giá trị trung bình của phân phối chuẩn trong 2 trường hợp: phương sai đã biết hay chưa biết. Khoảng tin cậy của xác suất khi cỡ mẫu lớn. 6) Kiểm định giả thuyết về xác suất (so sánh xác suất với một giá trị định trước, so sánh 2 xác suất) và giả thuy ết về giá trị trung bình µ = E ( X ) với X ∈ N ( µ , σ 2 ) trong 2 trường hợp: a) σ 2 đã biết ; b) σ 2 chưa biết. Một số ví dụ minh hoạ trong sách phải hiểu và nhớ cách làm: Chương 1: 1.4; 1.6 và 1.8. Chương 2: 2.3 và 2.4 Chương 3: 3.3 và 3.4 1 Chương 6: 6.1, 6.3, 6.4 , 6.6 và 6.7 Chương 7: 7.1, 7.2. II. Bài giải và đáp số một số bài tập trong sách Chương I 1.1 a) A ∩ C = ∅ B ∩ C = { 25 < N < 30} = C A ∪ B = { N < 30} B ∩ C ∩ D= { 25 < N < 30} = C b) i) Không, vì { 45 < N < 50} không được chứa trong { A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E} và tính xung khắc từng đôi không được thoả mãn với mọi cặp sự kiện. ii) Không, vì B ∩ D = { 25 ≤ N < 30} ≠ ∅ iii) Không, vì chúng chỉ xung khắc và các sự kiện xung khắc không phải là các sự kiện độc lập. iv) Vì C là phân tập của B nên P(C) ≤ P(B). 1.2 A= { ∅, { c} , { d } , { c, d } , { a, b} , { a, b, d } , { a, b, c} , Ω} 1.4 a) Cách 1: Có 36 trường hợp đồng khả năng trong đó có đúng 10 trường hợp xuất hiện một con số 6. Do đó xác suất phải tìm là: 10/36 = 5/18. Cách 2: Vì các lần gieo là độc lập nên xác suất phải tìm là: P { lần gieo 1 xuất hiện mặt 6, lần 2 không xuất hiện mặt 6 } + P { lần gieo 1 không xuất hiện mặt 6, lần gieo 2 xuất hiện mặt 6 } = 1/6 5/6 + 5/6 1/6 = 5/18. b) Xác suất xuất hiện mặt chẵn là 1/2. Do tính độc l ập, xác su ất xu ất hiện đồng thời 2 mặt chẵn là 1/2.1/2 =1/4. c) Số trường hợp thuận lợi : 3. Xác suất cần tìm là 3/36 = 1/12 d) Gọi S là tổng và (i,j) là sự kiện xảy ra mặt i trước và mặt j sau. Ta có: P(S chia hết cho 3) = P(S=3) +P(S=6) + P(S=9) + P(S=12)= { P(1, 2) + P(2,1)} + { P(1,5) + P(2, 4) + P(3,3) + P(4, 2) + P(5,1)} + { P(3, 6) + P(4,5) + P(5, 4) + P(6,3)} + P(6, 6) = 2/36+5/36+4/36+1/36=12/36 = 1/3 n −1 1 1 1.5   = 2− n . 2 2 2 1.6 a) 1/ (10)3 1.7 Đặt Ai = { cuốn sách thứ i để lại đúng chỗ cũ } 9! 1 a) Ta có: P ( Ai ) = = 10! 10 8! 1 b) P ( Ai ∩ Aj ) = = 10! 90 1 c) P ( A1 ∩ ... ∩ A10 ) = 10! 1.8 a) Tổng số cách xếp n ng ười là n!. Do vai trò của n ng ười như nhau nên không mất tính tổng quát, ta có thể tính từ một trong 2 ngư ời định trư- ớc. Với người thứ nhất trong 2 người có n cách xếp. Người thứ hai muốn ngồi cạnh người thứ nhất chỉ có 2 cách. Số người còn lại có (n-2)! cách. Tóm lại số trường hợp thuận lợi để 2 ng ười xác định ngồi cạnh nhau là n.2.(n-2)! Xác suất cần tìm là: n.2.(n-2)!/ n! =2/(n-1). b)Trường hợp bàn dài, cũng lập luận tương tự chỉ khác một điều, nếu người thứ nhất ngồi ở hai đầu, thì ng ười thứ hai chỉ có 1 khả năng ngồi bên cạnh,số các trường hợp thuận lợi sẽ là: {2 + (n-2)2}(n-2)!= 2(n-1)! Do đó, xác suất cần tìm sẽ là: P(A)= 2(n-1)!/ n! = 2/n. 1 1 1 3 1.9 a) C5C10C25 / C50 3 3 b) 1- C45 / C50 . 1.10 P(B)= 5/7= 0,7143 ...