Đề khảo sát chọn đội tuyển HSG 12 môn Toán năm học 2019-2020 - Trường THPT Lê Quý Đôn - Đống Đa

Đề khảo sát chọn đội tuyển HSG 12 môn Toán năm học 2019-2020 - Trường THPT Lê Quý Đôn - Đống Đa là tài liệu ôn tập môn Toán dành cho các thầy cô giáo và các em học sinh giỏi môn Toán năm học lớp 12 giúp các bạn học sinh vừa ôn tập lại kiến thức vừa trau dồi các kỹ năng làm bài sao cho đạt hiệu quả cao nhất.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề khảo sát chọn đội tuyển HSG 12 môn Toán năm học 2019-2020 - Trường THPT Lê Quý Đôn - Đống Đa SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG 12TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN - ĐỐNG ĐA MÔN: TOÁN (Đề gồm 01 trang) NĂM HỌC: 2019 - 2020 Thời gian làm bài 180 phútCâu 1 (4 điểm). Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  3 x 2  mx  2  m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các điểm A, B, C bằng 3.Câu 2 (6 điểm). a. Giải phương trình: 2 sin 2 x  cos 2 x  2  2  sin 2 x.cos x  sin x  2 cos x  .  x3   y  2  x 2  2 xy  1 b. Giải hệ phương trình:  . 2  x  3 x  y  2  0Câu 3 (4 điểm).  2020 u1  Cho dãy số  un  xác định bởi  2019 , n  * . 2u  u 2  2u  n 1 n n 1 1 1 Đặt S n    ...  . Tính lim Sn . u1  2 u2  2 un  2Câu 4 (4 điểm). Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng 1. Gọi M , N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh AB , AC sao cho mặt phẳng  SMN  luôn vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Đặt AM  x, AN  y. a. Chứng minh rằng x  y  3 xy. b. Tìm x , y để SMN có diện tích bé nhất, lớn nhất.Câu 5 (2 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. 2 abc abc P  3 . 3  ab  bc  ca 6 1  a 1  b 1  c  ----------------------- HẾT ----------------------- Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 12CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  3 x 2  mx  2  m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các điểm 4 A, B, C bằng 3. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình x3  3 x 2  mx  2  m  0 (1) có 3 nghiệm phân biệt. 1,0 x3  3 x 2  mx  2  m  0  ( x  1)( x 2  2 x  m  2)  0 Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt  x 2  2 x  m  2  0 (2) có hai nghiệm phân   3  m  0 1,0 biệt khác 1    m  3 (*) . 1 1  2  m  2  0 Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình (2), suy ra tổng hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm A, B, C là: 1,5 y (1)  y ( x1 )  y ( x2 )  3( x1  x2 ) 2  6 x1 x2  6( x1  x2 )  3m  3  9  3m Tổng HSG của các tiếp tuyến bằng 3  9  3m  3  m  2 (t/m đk (*)). 0.5 ĐS: m  2 Giải phương trình: 2 sin 2 x  cos 2 x  2  2  sin 2 x.cos x  sin x  2 cos x  a 1,0  cos2x =  2 sin 2x.cosx - sin2x      2 sin x - sin2x  2 2cosx - 2   2cos x  1  sin 2x  2cosx -1  2 s inx  2cosx -1  2  2 2cosx -1 1,0 2   2cosx +1  2cosx -1    2cosx -1 sin 2x - 2 s inx +2   1 0.5  cosx = 2 1   2  s inx + cosx   2sinx.cosx - 1 = 0  2  + (1)  x    k 2 4 ...