Đề tài : Ứng dụng số phức vào giải toán Hình học phẳng

Số phức xuất hiện từ thể kỷ XIX do nhu cầu phát triển của Toán học về giải những phương trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật. Đối với học sinh bậc THPT thì số phức là một nội dung còn mới mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh mới chỉ biết được những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế, đặc...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề tài : Ứng dụng số phức vào giải toán Hình học phẳng z Đề tài : Ứng dụng số phức vào giải toán Hình học phẳng 1 MỤC LỤC Trang 2 Mục lục ............................................................................................................................1 MỞ ĐẦU .........................................................................................................................3 Chương 1:SỐ PHỨC.......................................................................................................4 1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức......................................................................4 1.2 Khái niệm số phức....................................................................................................8 1.3 Các phép toán trên tập các số phức ..........................................................................9 1.4 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức..............................................................11 Chương 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG..........17 2.1 Phương pháp giải toán ............................................................................................17 2.2 Mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức .......................17 2.3 Ứng dụng số phức giải toán chứng minh hình học và tính toán ............................22 2.4 Ứng dụng số phức giải toán dựng hình ..................................................................35 2.5 Ứng dụng số phức giải toán quỹ tích......................................................................38 KẾT LUẬN ...................................................................................................................44 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................45 2 MỞ ĐẦU Số phức xuất hiện từ thể kỷ XIX do nhu cầu phát triển của Toán học về giải những phương trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật. Đối với học sinh bậc THPT thì số phức là một nội dung còn mới mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh mới chỉ biết được những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt là việc sử dụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán Hình học phẳng là một vấn đề khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải toán nhất định, biết vận dụng kiến thức đa dạng của toán học. Mặc dù sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đã đưa bài tập ứng dụng Số phức vào giải toán hình học phẳng nhưng còn rất ít. Với những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Ứng dụng số phức vào giải toán Hình học phẳng”. 3 Chương 1: SỐ PHỨC Chương này trình bày lịch sử hình thành số phức, định nghĩa, các phép toán và tính chất của số phức. 1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ thứ XVI. Đó là thời kì Phục hưng của toán −1, b −1, a + b −1 xuất học châu Âu sau đêm trường trung cổ. Các đại lượng ảo hiện đầu tiên từ thế kỉ XVI trong các công trình của của các nhà toán học Italy “Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số” (1545) của G. Cardano (1501 – 1576) và “Đại số” (1572) của R. Bombelli (1530 – 1572). Nhà toán học Đức Felix Klein (1849 – 1925) đã đánh giá công trình của G. Cardano như sau: “Tác phẩm quý giá đến tột đỉnh này đã chứa đựng mầm mống của đại số hiện đại và nó vượt xa tầm của toán học thời cổ đại”. −1 Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu là lời giải hình thức của phương trình x 2 + 1 = 0 . Xét biểu thức b −1 là nghiệm hình thức của phương trình x 2 + b 2 = 0 . Khi đó biểu thức tổng quát hơn có dạng a + b −1, b ≠ 0 có thể xem là nghiệm hình thức của phương trình ( x − a ) 2 + b 2 = 0 . Về sau biểu thức dạng a + b −1, b ≠ 0 xuất hiện trong quá trình giải phương trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo” và sau đó được Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là a + ib , trong đó kí hiệu i := −1 được L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi là đơn vị “ảo”. Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ quý giá của toán học đã diễn ra rất chậm chạp. Ngay tên gọi và kí hiệu i := −1 là đơn vị ảo cũng đã gây nên nhiều nỗi băn khoăn, thắc mắc từ đó dẫn đến khủng hoảng niềm tin vì nó không có gì chung với số - một công cụ của phép đếm, mặc dù người ta vẫn xem nó là một kí hiệu trừu tượng thỏa mãn định nghĩa i 2 = −1. Sự khủng hoảng niềm tin càng trở nên sâu sắc hơn bởi việc chuyển một cách thiếu cân nhắc và thiếu thận trọng một số quy tắc của đại số thông thường cho các số 4 phức đã sản sinh ra những nghịch lí khó chịu. Chẳng hạn như nghịch lí sau đây: vì i = −1 nên i 2 = −1, nhưng đồng thời bằng cách sử dụng các quy tắc thông thường của phép toán khai căn bậc hai lại thu được i 2 = −1 −1 = (−1)(−1) = (−1) 2 = 1 = 1 Như vậy −1 = 1 . i cho phép ta đưa Ta nhấn mạnh lại rằng hệ thức i 2 = −1 là định nghĩa số mới vào xét số phức. Điều đó có nghĩa rằng hệ thức đó không thể chứng minh, nó chỉ là quy ước. Tuy vậy, cũng có người muốn chứng minh hệ thức đó. Trong cuốn sách “phương pháp tọa độ” của mình, viện sĩ L.S. Pointriagin đã mô tả lại chứng minh đó như sau: Đầu tiên người ta lấy nửa đường trò ...