Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Phú Thọ

“Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Phú Thọ” là tài liệu hữu ích giúp các em ôn tập cũng như hệ thống kiến thức môn học, giúp các em tự tin đạt điểm số cao trong kì thi sắp tới. Mời các em cùng tham khảo đề thi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Phú ThọSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN PHÚ THỌ DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 14/9/2018 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trangBài 1 (5,0 điểm).Cho dãy số thực  an  n1 xác định bởi: a1  a2  1, a3  2 và an 1an  2  7 an 3  anvới mọi số nguyên dương n. a) Chứng minh rằng an là số nguyên, với mọi số nguyên dương n. a2 n 2 a2 n  a22n 1 b) Tìm giới hạn lim . n  a2 n a2 n 1Bài 2 (5,0 điểm).Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp  I  tiếp xúc với BC , CA, AB lần lượt tại cácđiểm D, E , F . Gọi M , N lần lượt là giao điểm của AD, CF với  I  . Chứng minh rằng MN .FD  3. MF .NDBài 3 (5,0 điểm).Tìm tất cả các hàm số f :    thỏa mãn f  f  x   y 2   f  x 2   y 2 f  y   2 f  xy  , với mọi x, y  .Bài 4 (5,0 điểm).Một bảng ô vuông ABCD kích thước 2018  2018 gồm 20182 ô vuông đơn vị, mỗi ôvuông đơn vị được điền bởi một trong ba số 1, 0, 1. Một cách điền số được gọi là đốixứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo AC được điền số 1 và mỗi cặp ô đối xứng qua AC được điền cùng một số 0 hoặc 1. Chứng minh rằng với một cách điền số đối xứngbất kì, luôn tồn tại hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ tráisang phải là a1 , a2 ,, a2018 ở hàng thứ nhất, b1 , b2 ,, b2018 ở hàng thứ hai sao choS  a1b1  a2b2   a2018b2018 là một số chẵn. --------HẾT---------  Họ và tên thí sinh: ...................................................................... SBD: ...............  Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.  Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM PHÚ THỌ ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 - ĐỀ CHÍNH THỨC 2019 Môn: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 14/9/2018 (Đáp án-thang điểm gồm 05 trang) I. Một số chú ý khi chấm bài Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi, giám khảo cầnbám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp lô-gic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. Thí sinh làm bài cách khác với Đáp án mà đúng thì Tổ chấm cần thống nhất cho điểm tươngứng với thang điểm của Đáp án. Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số. II. Đáp án-thang điểm Bài 1 (5,0 điểm). Cho dãy số thực  an  n1 xác định bởi: a1  a2  1, a3  2 và an 1an  2  7 an 3  an với mọi n nguyên dương. c) Chứng minh rằng an là số nguyên, với mọi n nguyên dương. a2 n 2 a2 n  a22n 1 d) Tìm giới hạn lim . n  a2 n .a2 n1 Đáp án Điểma) Từ hệ thức xác định dãy  an  , dễ dàng chỉ ra được a4  9, an  0, n và 0,5 an 3an  an 1an 2  7, n  * . Suy ra an  4 an 1  an  2 an3  7, n  * .Do đó, với mọi n  * , ta có an  4 an 1  an3an  an  2 an 3  an 1an 2   an  4  an  2  an 1   an  2  an  an 3 , n  * .Từ đó, do an  0, n , ta được 1,0 an  4  an  2 an  2  an  , n  * . an 3 an 1Do đó, với mọi k  * , ta có  a2 k 3  a2 k 1 a2 k 1  a2 k 1  a   a2 k  2k 2 . 1,0 a  2k 4  a 2k 2 a  a  2k 2 2k ...