Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Quảng Bình

Cùng tham khảo “Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Quảng Bình” dưới đây, giúp các em ôn tập lại các kiến thức đã học, đánh giá năng lực làm bài của mình và chuẩn bị kì thi sắp tới được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Quảng BìnhSỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 21/08/2018. u1  1 Câu 1. (5 điểm) Cho dãy số  un  thỏa mãn  1  u n 1  1  n   * .  u n  1 a) Chứng minh rằng: dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 2018 2 b) Chứng minh rằng: u k 1 k  4036.Câu 2: (5 điểm)Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  có H là trực tâm, nội tiếp đường tròn (O). BE , CFlà các đường cao của tam giác ABC ( E  AC , F  AB ) . Đường thẳng EF cắt BC tại G,đường thẳng AG cắt đường tròn (O) tại M. a) Gọi T là trung điểm của BC. Chứng minh: GH  AT . b) Lấy điểm P nào đó trên tia BC (P nằm ngoài đoạn BC). Đường tròn (O) cắtAP tại I và cắt đường tròn đường kính AP tại Q (I, Q đều khác A). AQ cắt BC tại J.Chứng minh rằng: đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố định.Câu 3. (5 điểm) Cho P( x)  x n  an1 x n 1  an2 x n2  ...  a1 x  a0 là đa thức với hệ sốthực, n là số nguyên dương chẵn và có n nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt). Giảsử y là số thực dương thỏa mãn với mọi số thực t  y thì P(t )  0 .Chứng minh rằng: n P(0)  n P( y)  y.Câu 4. (5 điểm) Cho 2018 số nguyên dương a1 , a2 ,..., a2018 và số nguyên a  1 sao choa chia hết cho a1.a2 .....a2018 . Chứng minh rằng: a 2019  a  1 không chia hết cho a  a1  1 a  a2  1 ... a  a2018  1 . .............................HẾT................................SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 21/08/2018. HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn này có 6 trang) Yªu cÇu chung* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêucầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối vớinhững bước giải sau có liên quan. Ở câu hình, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽhình sai thì cho điểm 0.* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,5 điểm. Đối với điểmthành phần lớn hơn 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng0,5 điểm.* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mứcđiểm của từng bài.* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bàiBÀI NỘI DUNG ĐIỂM u1  1  Cho dãy số  un  thỏa mãn  1  u n 1  1  n  *.  un  1 5,0Câu 1 a) Chứng minh: dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. điểm 2018 2 b) Chứng minh rằng: u k 1 k  4036. 2,5 1a điểm Từ cách cho dãy số ta có: un  0, n  * 3 7 17 Ta có u2  ; u3   u1; u4   u2 2 5 12 1 Xét hàm số f ( x)  1  , ta có f  x  liên tục và nghịch biến trên 1,0 x 1  0;   1  f ( x)  2, x  0 . 1 Ta có un1  1   f (un ), n  *  (un ) bị chặn. 1  un u1  u3  f (u1 )  f (u3 )  u2  u4  f (u2 )  f (u4 )  u3  u5  ... suy ra dãy (u2 n1 ) tăng và dãy (u2 n ) giảm. 0,5 Theo tiêu chuẩn Weierstrass suy ra (u2 n1 ),(u2 n ) là các dãy hội tụ. Giả sử lim u2 n  a ; lim u2 n1  b (a, b  1;2) Do hàm f liên tục nên: 0,5 Từ u2 n1  f (u2 n )  lim u2 n1  lim f (u2 n )  b  f (a ) Từ u2 n 2  f (u2 n1 )  lim u2 n 2  lim f (u2 n1 )  a  f (b) .  1 b  1  1  a Giải hệ phương trình  ab 2 . a  1  1 0,5  1 b ...