Đề thi chọn đội tuyển olympic môn đại số 2009

Câu 3. (10 điem) Cho A là ma tran không suy biên, ma tran nghch đo 1 A− se thay đoinhư thế nào nêu ta thực hiện các phép biên đổi sau đây trên A (yêu câu gii thích rõ lý do):a) Đổi chổ cho dòng chữ i và j của ma trận ab) Nhân dòng i của A với sô thực a # 0 ;c) Cộng vào dòng chữ i tích của dòng chữ j với số thực a
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn đội tuyển olympic môn đại số 2009 ®¹i ®¹i häc kinh tÕ quèc d©n §Ò §Ò THI CHän §éi tuyÓn olympic MÔN Đ I S - NĂM 2009 (Th i gian làm bài: 150 phút)Câu 1. (10 đi m) Cho ma tr n:  4 3 −3  A =  2 3 −2     4 4 −3   Tính ma tr n A 2009 .Câu 2. (15 đi m) Cho A, B là hai ma tr n vuông cùng c p sao cho E + AB là ma tr n khngh ch, ch ng minh r ng E + BA cũng là ma tr n kh ngh ch.Câu 3. (10 đi m) Cho A là ma tr n không suy bi n, ma tr n ngh ch đ o A −1 s thay đ inhư th nào n u ta th c hi n các phép bi n đ i sau đây trên A (yêu c u gi i thích rõ lý do): a) Đ i ch dòng th i và j c a ma tr n A; b) Nhân dòng i c a A v i s th c α ≠ 0 ; c) C ng vào dòng th i tích c a dòng th j v i s th c α .Câu 4. Cho ma tr n: 1 n 23⋯ n n −1  1 2⋯   A =  n −1 n 1 ⋯ n − 2   ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 2  34⋯ 1  a) (15 đi m) Tính đ nh th c c a ma tr n A; b) (10 đi m) Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n A.Câu 5. (15 đi m) Cho a1 , a 2 ,… , a n là các s th c đôi m t khác nhau và b1 , b 2 ,… , b n là cács th c b t kỳ, gi i h phương trình:  x1 + a1x 2 + ⋯ + a1 −1x n = b1 n  n −1  x1 + a 2 x 2 + ⋯ + a 2 x n = b 2  ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯  x1 + a n x 2 + ⋯ + a n −1x n = b n n Câu 6. a) (10 đi m) Ch ng minh r ng n u A là ma tr n vuông sao cho: AT = TA, ∀T không suy bi n cùng c p AB = BA, ∀B vuông cùng c p; thì ta cũng có: b) (15 đi m) Hai ma tr n A và B đư c g i là đ ng d ng n u t n t i ma tr n P không suy bi n sao cho B = P −1AP . Tìm t t c các ma tr n ch đ ng d ng v i chính nó.________________________________________Chú ý: Sinh viên không đư c dùng tài li u