ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1998 -1999 MÔN TOÁN BẢNG B VÒNG 2

Tham khảo đề thi - kiểm tra đề thi chọn học sinh giỏi bậc ptth thừa thiên huế năm học 1998 -1999 môn toán bảng b vòng 2, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1998 -1999 MÔN TOÁN BẢNG B VÒNG 2SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1998 -1999. ----------------------- ------------------------------------------------- ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN BẢNG B VÒNG 2. (180 phút, không kể thời gian giao đề) SBD:------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài 1 (5 điểm) Cho phương trình: cos3x + asinx.cosx + sin3x = 0. a/ Giải phương trình khi a = 2 . b/ Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm.Bài 2 (5 điểm) Giả sử phương trình x3 + x2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Hãy xét dấu của biểu thức: a2 – 3b.Bài 3 (5 điểm) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số: 1 y = (1 + a x ) x , (a > 0).Bài 4 (5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = b, SA = SB = SC = SD = c. K là hình chiếu vuông góc của P xuống AC. a/ Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BK. b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK và CD. Chứng minh: Các đường thẳng BM và MN vuông góc nhau. 1SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 1998-1999. MÔN: TOÁN BẢNG B VÒNG 2. ---------------------------------------------------------------------------------------------Bài 1: ( 5điểm) cos3x + asinx.cosx + sin3x = 0. π(0.5 đ) + Đặt t = sinx + cosx = 2 cos(x − ), |t| 2. 4 cos3x + sin3x = (cosx + sinx)(sin2x + cos2x – sinxcosx) = (cosx + sinx)(1 – sinxcosx) t2 −1 t và cos3x + sin3x = (3 − t ) . 2 vì t2 = 1 + 2sinxcosx nên sinxcosx = 2 2(0.5 đ) + Phương trình (1) trở thành: t2 −1 t (3 − t 2 ) + a. = 0 ⇔ t3 – at2 – 3t + a = 0 (2). 2 2 Câu a / (1 đ) + Với a = 2 : (2) trở thành: t3 – 2 t2 – 3t + 2 = 0 ⇔ (t + 2 )(t2 - 2 2 t + 1) = 0 ⇔ (t + 2 )(t - 2 + 1)(t - 2 - 1) = 0 ⇔ t = - 2 hay t = 2 - 1 hay t = 2 + 1. (1 đ) + so lại điều kiện: | t | ≤ 2 nên phương trình (1) tương đương với: π � 5π � π cos(x − ) = −1 � = 4 + k2π x 2 cos(x − ) = − 2 � 4 4 �� �� , k �Z . π π 2 −1 �π 2 −1 � 2 cos(x − ) = 2 − 1 � cos(x − ) = � = 4 ar cos 2 + k2π x 4 4 2 � � Câu b /(0.25đ) + Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi f(t) = t3 – at2 – 3t + a = 0 có nghiệm t ∈[- 2 ; 2 ](1.25đ) + f(t) liên tục trên R f(- 2 ) = 2 - a ; f( 2 ) = - 2 - a; f(0) = a. • a = 0: f(t) có nghiệm t = 0 ∈ [- 2 ; 2 ] • a < 0: f(- 2 ).f(0) = a( 2 - a) < 0 ⇒ f(t) = 0 có nghiệm t ∈(- 2 ;0). • a > 0: f(0).f( 2 ) = a(- 2 - a) < 0 ⇒ f(t) = 0 có nghiệm t ∈(0; 2 ).(0.25đ) + Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi a.Bài 2: ( 5điểm) y = f(x) = x3 + x2 + ax + b(0.5 đ) + Tập xác định: R. y’ = 3x2 + 2x + a là tam thức bậc hai có biệt số ∆ ’ = 1 – 3a.(0.5 đ) + Pt: x3 + x2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và f(x1).f(x2)< 0. 1 − 3a > 0 (x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 3x2 + 2x + a = 0).(0.25 đ) + Suy ra: f (x1 ).f (x 2 ) < 0 2 + Thực hiện phép chia đa thức ta được: (1 đ) 1 1� 1 � f(x) = x3 + x2 + ax + b = � x + � + [ (6a − 2)x + 9b − a ] . y 3 9� 9 � 1 1 Suy ra f(x1) = [ (6a − 2)x1 + 9b − a ] ; f(x2) = [ (6a − 2)x 2 + 9b − a ] 9 9 (0.5 đ) + f(x1).f(x2) < 0 ⇒ (6a-2) x1x2 + (6a-2)(9b-a)(x1 + x2) + (9b-a)2 < 0. 2 + Vì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: 3x2 + 2x + a = ...