ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001 MÔN TOÁN BẢNG B VÒNG 2

Tham khảo đề thi - kiểm tra đề thi chọn học sinh giỏi bậc ptth thừa thiên huế năm học 2000-2001 môn toán bảng b vòng 2, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001 MÔN TOÁN BẢNG B VÒNG 2SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001. ------------------------------------------------------------------------ ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN BẢNG B VÒNG 2. (180 phút, không kể thời gian giao đề) SBD:------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Bài 1: (2.5 điểm) Tính các giới hạn sau: 1 13 + 53 + 93 + ... + (4n − 3)3 b/ lim � 5x � . cos lim x sin x a/ n [ 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3)] � � 2 x 0 cos 3x � � Bài 2: (2.5 điểm) Cho P(x) là đa thức bậc n (n >1) và có n nghiệm phân biệt x1, x2, ..., xn. P’(x) là đạo hàm của P(x). a/ Chứng minh phương trình P’(x) = 0 có n -1 nghiệm phân biệt. b/ Kí hiệu Pi(x) là đa thức sao cho: P(x) = (x – xi).Pi(x) (i = 1,2,...,n) P1 (x) P2 (x) P (x) + + ... + n Rút gọn biếu thức: . P (x1 ) P (x 2 ) P (x n ) Bài 3: (3 điểm) Cho đường thẳng cố định a và một điểm A cố định trên a. Gọi (C) là đường tròn lưu động ở trong một nữa mặt phẳng (α) có bờ a. (C) có bán kính không đổi R và luôn tiếp xúc với a, gọi M là tiếp điểm. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Chứng minh rằng trong mặt phẳng chứa đường tròn (C), có một parabol (P) cố định sao cho trục đẳng phương của (C) và đường tròn đường kính AI luôn luôn tiếp xúc (P) khi M thay đổi trên a. Bài 4: (2 điểm) Tìm số nhỏ nhất trong các cặp tập hợp có giao khác tập ∅ trong 2000 tập hợp phân biệt sao cho với 3 tập hợp bất kì trong 2000 tập hợp đó đều có ít nhất một cặp tập hợp có giao khác tập ∅.SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001. ----------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN BẢNG B – VÒNG 2.Bài 1: (2.5 điểm)Câu a ( 1.50 đ) n n• 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) = � − 3) = �(64i 3 − 144i 2 + 108i − 27) 3 3 3 3 3 (4i i =1 i =1 n n n = 64�3 − 144�2 + 108� − 27n . i i i i =1 i =1 i =1 n(4n − 2)• 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) = = 2n 2 − n . 2 n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) 2 n n � + 1) � n n(n i= i2 = i =�• Mà ta có các công thức: 3 ; ; . �2 � 2 6 � i =1 i =1 i =1• Do đó: P(x) = 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là 64 / 4 = 16. 3 3 3 3• Và Q(x) = [ 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) ] 2 là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là 4 13 + 53 + 93 + ... + (4n − 3)3 16 = =4.• Do đó: lim [ 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3)] 2 4 nCâu b (1 đ) cos5x − cos3x � �sin x.cos3x cos3x 1 x cos 5x − cos 3x � −cos3x � cos 5x � = � � cos5x x sin x lim � +• lim � 1 � � � x 0� � cos 3x x 0 cos 3x � � � � ...