ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2001-2002 MÔN TOÁN

Bài 1: a/ Giải phương trình: b/ Chứng minh: log89 + log810 + log811
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2001-2002 MÔN TOÁNSỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2001-2002. ----------------------- ------------------------------------------------- ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (VÒNG 2). (180 phút, không kể thời gian giao đề) SBD:------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài 1: a/ Giải phương trình: 3(x 2 + 2x + 2) = 10 x 3 + 2x 2 + 2x + 1 b/ Chứng minh: log89 + log810 + log811 < 2log23.Bài 2: a/ Với A, B, C là ba góc của một tam giác, chứng minh rằng phương trình: A B C x 2 − 2x = sin + sin + sin 3 2 2 2 có 4 nghiệm phân biệt. 2 b/ Giải phương trình: x.3x −1 + (x 2 − 1).3x + 1 − x − x 2 = 0Bài 3: Trong mặt phẳng, cho tứ giác (lồi) có : tổng khoảng cách từ mỗi đỉnh đến các cạnh là một số không đổi đối với tất cả các đỉnh. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành.Bài 4: Cho tập hợp E = { x∈ N/ 1 ≤ x ≤ 2001}, k, r là hai số cho trước: 2 ≤ k ≤ 20001, r ∈ N*. Hỏi có bao nhiêu bộ (a1, a2, ..., ak) thỏa mãn các điều kiện sau: ai ∈ E, i = 1, k . (i) (ii) a1 < a2 < ...< ak. Min{ai+1 – ai / i = 1, k − 1 } = r (iii)SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2001-2002. ----------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 12 -VÒNG 2.Bài 1:Câu a: Giải phương trình: 3(x 2 + 2x + 2) = 10 x 3 + 2x 2 + 2x + 1 (1).• x + 2x + 2x + 1 = (x + 1)(x + x + 1) nên điều kiện là: x ≥ -1. 3 2 2• x2 + 2x + 2 = (x +1) + (x2 + x + 1), đặt a = x + 1 , b = x 2 + x + 1• Với điều kiện x ≥ -1: (1) trở thành: 3(a2 + b2) = 10ab ⇔ 3a2 – 10ab + 3b2 = 0 ⇔ (a – 3b)(3a – b) = 0 ⇔ a = 3b hay a = b/3.• a = 3b ⇔ x + 1 =3 x 2 + x + 1 ⇔ x + 1 = 9(x2 + x + 1) ⇔ 9x2 + 8x + 8 = 0 (vô nghiệm)• a = b/3 ⇔ 3a = b ⇔3 x + 1 = x 2 + x + 1 ⇔9(x + 1) = x2 + x + 1 ⇔ x2 - 8x - 8 = 0 � x = 4 � 6 2• Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 4 2 6 .Cách khác: Bình phương và phân tích thành tích.....Câu b: Chứng minh: log89 + log810 + log811 < 2log23.• Trước hết chứng minh: logn(n+1) > logn+1(n+2) , ∀n>1 (1). log n +1 (n + 2) = log n +1 (n + 2).log n +1 n , áp dụng bất đẳng thức Cói cho hai số dương ta có:• Vì: log n (n + 1)• log n +1 (n + 2) + log n +1 n � log n +1 (n + 2).log n +1 n � log n +1 n(n + 2) � log n +1 (n + 2).log n +1 n 2 2• � 2 = log n +1 (n + 1) .log n +1 n � log n +1 (n + 2).log n +1 n 2 2 log n +1 (n + 2) < 1 suy ra (1) thỏa.• � log n +1 (n + 2) + log n +1 n < 1 � log n (n + 1)• Từ công thức (1) ta có: log89 + log810 + log811 < 3log89 = 2log23. ln(x + 1)• Cách khác: Có thể giải (1) bằng cách xét hàm y = logx(x+1) = với x>1 và suy ra y’>0... ln xBài 2:Câu a: A B C • Vì A,B,C ∈(0; π) nên: sin + sin + sin > 0 . Do đó: 2 2 2 �A B C� (1) �| x − 2x |= log 3 � sin + sin + sin � m (2) = 2 �2 2 2� • Nên số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đường: y = f(x) = |x2-2x| (C) và (d): y = m. • Khảo sát và vẽ đồ thị (C) y y=m O 2 x• Dựa vào đồ thị ta được: (2) có 4 nghiệm khi chỉ khi 0< m �A B C� A B C sin + sin + sin � 1 � 1 < sin + sin + sin < 3 (3) < • � log 3 � �2 2 2� 2 2 2 A B C A B C (0;1) � sin + sin + sin < 3 (4) . • Chứng minh (3): A,B,C ∈(0; π) nên: sin ;sin ;sin � 2 2 2 2 2 2 A B A B A,B ∈(0; π) nên: sin > 0;sin > 0;cos < 1;cos < 1 2 2 2 2 A+B A B A B B A C � sin + sin > sin .co s + sin .cos = sin = cos (5) 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C C C C C Từ (5): sin + sin + sin > cos + sin ...