Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 12 THPT môn Toán năm 2016-2017 (Vòng 2)

Nhằm giúp các bạn làm tốt các bài tập, đồng thời các bạn sẽ không bị bỡ ngỡ với các dạng bài tập chưa từng gặp, hãy tham khảo "Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 12 THPT môn Toán năm 2016-2017 (Vòng 2)" dưới đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 12 THPT môn Toán năm 2016-2017 (Vòng 2)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐỀ THI CHÍNH THỨC(Đề thi gồm có 01 trang)KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THPTNĂM HỌC 2016-2017Môn: ToánThời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi thứ hai: 29/10/2016Bài 5 (7,0 điểm).1) Cho số tự nhiên n thỏa: C21n1  C22n 1  ...  C2nn1  1023 . Tìm hệ số của số hạngchứa x8 của khai triển (1 + x + x2 + x3)n.2) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố  p; q  thỏa mãn p 2  5q 2  4 .Bài 6 (7,0 điểm).Cho tứ giác ABCD thỏa mãn AB.CD  AD. BC  AC.BD . Biết rằng đường trònnội tiếp tứ giác ABCD có tiếp điểm với các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt tại K, L,M và N.1) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn.2) Chứng minh KL2  MN 2  KN 2  LM 2Bài 7 (6,0 điểm).Tìm các số tự nhiên a1; a2; a3…; an thỏa mãn a 1 + a2 + a3 + … + an = 2015sao cho biểu thức P = a 1.a2.a3…an lớn nhất có thể.………………………… Hết ………………………….Thí sinh không được sử dụng tài liệu và không được sử dụng máy tính cầm tay.Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.Họ và tên thí sinh ………………………………..… Số báo danh ………… Phòng thi ……..Cán bộ coi thi thứ nhất ……………………… Cán bộ coi thi thứ hai …………………………SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐĂK NÔNGVòng 2KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPTNĂM HỌC 2016-2017Môn: TOÁNHƯỚNG DẪN CHẤM(Hướng dẫn chấm gồm có 4 trang)Lưu ý: Mọi cách giải khác đáp án, mà đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.CâuNỘI DUNGĐiểm1a.a. Cho số tự nhiên n thỏa: C21n1  C22n 1  ...  C2nn1  1023 . Tìm hệ số của số2.02 điểm823 nhạng chứa x của khai triển (1 + x + x + x ) .(1  x)2 n 1 2 n 12 n 1 C2kn 1 x k  22 n1 Ck 0k2 n 10,5k 0Ta có: 2 n 1 22 n 1  2   C2kn 1   2048  n  5 k 0523 552 55k5(1  x  x  x )  (1  x) (1  x )   C x . C5m x2mk 0k10,5m0Vì hệ số chứa x8 nên ta có k+2m =8 suy ra (k;m) = (0;4), (2;3), (4;2)Vậy hệ số cần tìm là C50 .C54  C52 .C53  C54 .C52 .1b.5 điểm b. Cho dãy số thực  x  xác định bỡin0,5 x1  2015 x  3  xn , n  N * n 1xn2  10,55, 01,01,01,01,01,027,0a. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C1 ),(C2 ) lần lượt có2a.3.0điểmphương trình: x 2  y 2  2 x  4 y  0 ;x 2  y 2  2 x  6 y  1  0 . Lập phươngtrình đường thẳng d tiếp xúc với (C1 ) và cắt (C2 ) tại A, B thỏa mãn3.01AI 2 B  arccos với I2 là tâm của đường tròn (C2 ) .9Ta có I1 (1; 2); R1  5; I 2 (1; 3); R 2  3Phương trình đt I1I2 : x  2 y  5  0 .AHB0.7511Do AI 2 B  arccos nên cosAI2B 9922Ta có: AB  I 2 A  I 2 B  2 I 2 A.I 2 B cos AI 2 B  16I220.75suy ra d ( I 2 ; d )  I 2 H  5 .Do d tiếp xúc với (C1 ) nên d ( I1; d )  R1  5Vì khoảng cách từ 2 điểm I1 ; I 2 đến d bằng nhau nên d song song I1I2 hoặc d điqua trung điểm của I1I2.21.0Nếu d//I1I2 thì d có dạng: x  2 y  m  0 ; vì d ( I1 ; d )  5 nên m  0; m  1052Nếu d đi qua trung điểm của I1I2 thì d có dạng ax  b( y  )  0 ( a 2  b 2  0 )ad ( I1 ; d )  5 2b22 5  a  2b  2 5( a 2  b 2 )a b a  4ab  4b  20a 2  20b 2  19a 2  4ab  16b 2  0  a  b  0 (vô lý)ĐS: x  2 y  0 ; x  2 y  10  0222b.b. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,4 điểm AB = 2a, AD = DC = a. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng(ABCD) bằng 600; I là trung điểm của AD, mặt phẳng (SIB) và mặt phẳng (SIC) cùng vuông gócvới mặt phẳng (ABCD), H là hình chiếu của I lên SD. Tính thể tích khốichóp S.ABCD và khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SBC) theo a.30,51,01,01,01,036,0điểmTìm các số tự nhiên a1; a 2; a3…; an thỏa mãn a1 + a2 + a 3 + … + an =6,02015 sao cho biểu thức P = a1.a2.a3…an lớn nhất có thể.Ta chứng tỏ trong các số a1; a2; a3…; an không có số 1.Thật vậy, giả sử tồn tại một số bằng 1, chẳng hạn là a1 = 1, khi đó trong1,5các số còn lại phải có số aj >2, ta giả sử là a2 >2, vì ngược lại dễ thấy điềuvô lý.Khi đó ta thay a1 bởi số 2 và a2 bỡi a2 -1  22  ( a2  1)  a3  ...  an  2015 a2  22( a2  1) a3 ..an  1a2 .a3 ...anVi phạm P = a1.a2.a 3…an lớn nhất có thể.41,0 ...