Đề thi chọn HSG lớp 9 cấp tỉnh môn Toán năm học 2011 - 2012 - Sở GD&ĐT Gia Lai

Nhằm giúp cho các em chuẩn bị tinh thần tốt nhất để bước vào kỳ thi chọn HSG chính thức trong thời gian tới. Đề thi HSG lớp 9 môn Toán năm 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Hạ Hòa có kèm theo đáp án để học sinh dễ đối chiếu với kết quả làm bài của mình. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG lớp 9 cấp tỉnh môn Toán năm học 2011 - 2012 - Sở GD&ĐT Gia LaiSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOGIA LAIĐỀ CHÍNH THỨCKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNHNăm học : 2011-2012MÔN: ToánThời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)Câu 1. (3,0 điểm)2a) Cho x 12 1 11. Tính giá trị của biểu thức A   x4  x3  x2  2x  120122 1 1b) Chứng minh biểu thị P  n3 .  n2  7   36n chia hết cho 7 với mọi số nguyên n2Câu 2 (3,0 điểm)a) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng  có phương trình y  x  1Tìm trên đường thẳng  các điểm M(x;y) thỏa mãn đẳng thức y2  3y x  2x  0b) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y  ax  b . Tìma, b để d đi qua điểm B(1;2) và tiếp xúc với Parabol (P) có phương trình y  2x2Câu 3 (4,0 điểm)x  2 y  5a) Giải hệ phương trình x  y  1b) Gọi x1 ;x2 là hai nghiệm của phương trình 2012x2   20a  11 x  2012  0 (a là số thực) x x31 1 2Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức P   x1  x2   2  1 2   2x1 x 2  22Câu 4. (4,0 điểm)a) Cho các số thực a, b, c sao cho 1  a,b,c  2. Chứng minh rằng  a  b  c       10a b c111b) Trong hội trại ngày 26 tháng 3, lớp 9A có 7 học sinh tham gia trò chơi ném bóng vàorổ. 7 học sinh này đã ném được tất cả 100 quả bóng vào rổ. Số quả bóng ném đượcvào rổ của mỗi học sinh đều khác nhau. Chứng minh rằng có 3 học sinh ném đượctổng số quả bóng vào rổ không ít hơn 50 quả.Câu 5. (6,0 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM (H,M thuộc BC). Đường tròn tâm H bán kính HA, cắt đường thẳng AB và đường thẳng AC lầnlượt tại D và E (D và E khác điểm A)a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng và MA vuông góc với DEb) Chứng minh 4 điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn. Gọi O là tâm của đườngtròn đi qua 4 điểm B, E, C, D . Tứ giác AMOH là hình gì ?2c) Đặt ACB  ;AMB  . Chứng minh rằng  sin   cos    1  sin ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 GIA LAI NĂM 2011-2012Câu 1a) Rút gọn x  2Thay x  2 vào biểu thức A ta được A = 1b)2P  n  n 3  7n  36   n n 3  7n  6 n 3  7n  6 n  n 3  n 2  n 2  n  6(n  1)   n 3  n  6  n  1   n  3 n  2  n  1 n  n  1 n  2  n  3Ta có P là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7Câu 2a) Điều kiện x  0 . Tọa độ M (x;y) là nghiệm của hệ phương trìnhx  1y  x  1Vậy M (1;2) 2y2y3yx2x0b) Vì đường thẳng d đi qua B (1;2) nên b  2  a . Khi đó phương trình đường thẳng d códạng y  ax  2  aPhương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: 2x2  ax  a  2  0(1)(d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép   0  a  4 Với a = 4 suy ra b = - 2.Vậy a = 4; b = - 2 thõa mãn yêu cầu bài toánCâu 3a) Ta xét hai trường hợpx  2y  5 x  3(thỏa mãn điều kiện)x  y  1y  4TH1: y  0 ta có hệ phương trình 7xx  2y  5 3 (thỏa mãn điều kiện )TH2: y  0 ta có hệ phương trình x  y  1x  437 4 3 3 Vậy nghiệm của hệ phương trình là  3;4  ;  ;b) Ta có ac  0 nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấuTa có : x1  x2 20a  11; x1x 2  12012232x  xDo đó P   x1  x2   2  1 2   x1  x2  (do x1.x2  12 2392222 x1  x2    x1  x2   6  x1  x2   6  x1  x2   4x1.x2 22220a  11 20a  11 ;x1.x 2  1)  24 với mọi a 6 24 (do x1  x2 2012 2012 11Vậy GTNN của P = 24. Dấu “=” xảy ra khi a 20Câu 41 1 1a b c b c aa)  a  b  c       10        7abcbcaabcKhông mất tính tổng quát , giả sử a  b  c. Khi đó ta có  a  b  b  c   0Suy ra ab  bc  b2  caaa b cc b1   ; 1  cb c ab aa b c b c aa cSuy ra       2  2   b c a a b cc aTừ đó suy raa cTa cần chứng minh 2     5c a2a2c Tức là chứng minh   11    0(*)a  caccaBất đẳng thức (*) luôn đúng vì 2  a  c  1   1; 12Từ đó suy ra điều phải chứng minhb) Gọi số quả bóng ném được vào rổ của mỗi học sinh là a1;a 2 ;a3 ;........;a7 được xếp từnhỏ đến lớn a1  a 2  a3  a 4  a 5  a6  a 7 (1)Xét hai trường hợp:TH1: a 5  16. Suy ra a6  17;a 7  18. Do đó ta có a 5  a6  a 7  51 (2)TH2: a 5  15 suy ra a 4  14;a3  13;a 2  12;a1  11Ta có a1  a 2  a3  a 4  50Suy ra a 5  a6  a 7  50(3)Từ (2) và (3) ta có điều phải chứng minhCâu 5AEBCHMDOa) Do DAE  900 nên DE là đường kính của đường tròn tâm H, bán kính HA suy raD, H, E thẳng hàngTa có : MAE  MCA  HAD  ADEVì ADE  AED  900 nên MAE  AED  900Suy ra MA vuông góc với DEb) Từ ADE  MCA suy ra tứ giác DBEC nội tiếp đường tròn (O)Do OM vuông góc với BC và AH vuông góc với BC nên AH // OMDo OH vuông góc với DE và AM vuông góc với DE nên OH // AMVậy tứ giác AMOH là hình bình hànhc) Do ...