Đề thi chọn HSG lớp 9 môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Mời các em học sinh lớp 9 cùng tham khảo "Đề thi chọn HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Bắc Ninh" để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải đề tốt hơn chuẩn bị cho kì thi học kì sắp tới. Chúc các em ôn thi hiệu quả!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG lớp 9 môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Bắc NinhNhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1. ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINHNăm học 2017 – 2018Câu 1.(4,0 điểm)1) Rút gọn biểu thức: P x  2 x 1  x  2 x 1x  2x 1  x  2x 1, với x  2 .2) Cho x là số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2 thức A  x5 Câu 2.1 7 . Tính giá trị các biểux211; B  x7  7 .5xx(4,0 điểm)1) Cho phương trình x2  (m2  1) x  m  2  0 (1) , m là tham số. Tìm m đểphương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn2 x1  1 2 x2  155. x1 x2 x2x1x1 x22) Giải hệ phương trình ( x  1)2  y  xy  4 24 x  24 x  35  53 y  11  y.(3,5 điểm)1) Tìm tất cả các số nguyên dương m , n sao cho m  n2 chia hết cho m2  n vàn  m2 chia hết cho n2  m .2) Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương đầu tiên. Hãy tìm số nguyên dươngk nhỏ nhất có tính chất: Trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tạihai số phân biệt a , b sao cho a 2  b2 là số nguyên tố.Câu 4.(6,0 điểm)Cho tam giác ABC cân tại A  BAC  90  nội tiếp đường tròn  O  bán kính R .Câu 3.M là điểm nằm trên cạnh BC BM  CM  . GọiD là giao điểm của AM vàđường tròn  O  ( D khác A ), điểm H là trung điểm đoạn thẳng BC . Gọi E làđiểm chính giữa cung lớn BC , ED cắt BC tại N .1) Chứng minh rằng MA.MD  MB.MC và BN.CM  BM .CN .2) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD . Chứng minh rằng bađiểm B , I , E thẳng hàng.3) Khi 2AB  R , xác định vị trí của M để 2MA  AD đạt giá trị nhỏ nhất.Câu 5.(2,5 điểm)1) Cho x , y , z là các số thực không âm thỏa mãn x  y  z  3 và xy  yz  zx  0 .Chứng minh rằngx 1 y 1 z 125.y  1 z  1 x  1 3 3 4 xy  yz  zx2) Cho tam giác ABC vuông tại C có CD là đường cao. X là điểm thuộc đoạnCD , K là điểm thuộc đoạn AX sao cho BK  BC , T thuộc đoạn BX sao choAT  AC , AT cắt BK tại M . Chứng minh rằng MK  MT .1Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINHNĂM HỌC 2017-2018Câu 1. (4,0 điểm)x  2 x 1  x  2 x 11) Rút gọn biểu thức: P x  2x 1  x  2x 1, với x  2 .2) Cho x là số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2 thức A  x5 1 7 . Tính giá trị các biểux211; B  x7  7 .5xxLời giải1)2x 1 2 x 1 1P2.x 1 2 x 1 12x 1 2 2x 1 12x 1 1x 1 122x 1 2 2x 1 122x 1 12x 1 122.x 1 1x 1 12x 1 12.2 x 122x 1 12. x 1 .2)x1x227Ta có x3x1x44+) xx5+) x3x7x1x3x21 4xx1x22x1x2327x1 2x 1x1x23.629x1x3 (do x0)1821x4118 141x511x43xx41x721x846247x51x31x5x3x51x5x7xx71x7x51x518x71x731231x1x7843Câu 2. (4,0 điểm)1) Cho phương trình x2  (m2  1) x  m  2  0 (1) , m là tham số. Tìm m đểphương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn2 x1  1 2 x2  155. x1 x2 x2x1x1 x22Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 12) Giải hệ phương trình ( x  1)2  y  xy  4 24 x  24 x  35  53 y  11  y.Lời giảim21)21m44 m 2x1Theo định lí Vi-ét ta có2 x1 1x22 x2 1x12 x12x12 x222m212 m422m2m42m2Đặt m21m2x1 x2m 24m 87012 x1 1 x12 x2 1 x2x1 x2x1 x2552 x1m24 m 21m21 m255x1 x22x2m 2224 x1 x255x1x2x1 x2255004m 4 5500 (2)24aa2x1 x22x255x1 x2x1 x2x22 m 10Phương trình (2) trở thành a2 2a 24 0Ta cóphương trình có 2 nghiệm:25 0a1 4 (Nhận); a26 (Loại, vì a 0 )m2+) Với a 4 m2 42 là giá trị cần tìm.Vậy m 2 ; m2(1)2) ( x  1)  y  xy  4 2 4 x  24 x  35  5Phương trình (1)x 1 xxy1x33 y  11  y( x 1)2y x 1y0(2)xy4x 1 xx203y2 x 3 xyy003+) Thay x 1 vào phương trình (2) ta được: 4.12 24.1 35 5 3 y 113 y 11y33 y 2 11y10 2 yy23 y 11y93 y 2 1110 2 y2y229 y 1000y 25y 4+) Thay y4 x224 x4 x23 vào phương trình (2) ta đượcx3524 x5353 x35 3x 211x35 x334 x224 x35 5 3x 25 x30Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 14 x228x243x3xx 1 x 6 43xx9 x 1 x 64 x 1 x 6Vì 42 5 3x 23x25 3x 2x92 5 3x 29xxx16yy5 x0,3x00319 5 xx19 5 x03x 1 x 692 5 3x 2x 1 x 69 5 x302349Vậy nghiệm x; y của hệ là: 1; 4 , 1; 25 , 6;9Câu 3. (3,5 điểm)1) Tìm tất cả các số nguyên dương m , n sao cho m  n2 chia hết cho m2  n vàn  m2 chia hết cho n2  m .2) Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương đầu tiên. Hãy tìm số nguyên dươngk nhỏ nhất có tính chất: Trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tạihai số phân biệt a , b sao cho a 2  b2 là ...