Đề thi học sinh giỏi lớp 12 năm học 2010 - 2011 môn toán

Câu 1: (4 điểm)Cho hàm số y = x3 - 3mx2 + 3(m+ 6)x +1 (1)1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 .2. Khi hàm số (1) có cực trị , hãy tìm m để điểm A(3;5) nằm trên đường thẳng đi quacácđiểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi lớp 12 năm học 2010 - 2011 môn toánTRƯỜNG THPT CẨM THỦY 2 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4 điểm) Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3(m + 6) x + 1 (1) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 . 2. Khi hàm số (1) có cực trị , hãy tìm m để điểm A (3;5) nằm trên đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). Câu 2: (2 điểm) 1 Tìm hệ số của x2 trong khai triển ( x + ) n , biết n là số nguyên dương thỏa mãn 4 2x 2 n +1 n 6560 22 1 23 2 2C 0 + C n + C n + .... + Cn = n n +1 n +1 2 3 Câu 3: (4 điểm) ( ) ( ) x 2 + 1 + x > log 3 log 1 x2 + 1 − x 1. Giải bất phương trình: log 1 log 5 3 5 2. Giải phương trình: ( x − 1) ( 2 ) x −1 + 33 x + 6 = x + 6 Câu 4: (2 điểm) Giải phương trình: Câu 5: (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M (1; −1) và hai đường thẳng d1 : x − y − 1 = 0 , d 2 : 2 x + y − 5 = 0 . Gọi A là giao điểm của d1 và d 2 . 1. Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên d1 , đi qua điểm M và tiếp xúc với d 2 . 2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M cắt d1 , d 2 lần lượt ở B và C sao cho ba điểm A, B, C tạo thành tam giác có BC = 3AB. Câu 6: (3 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB = a , AC = b , AD = c và BAC = CAD = DAB = 600 . · · · 1. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, c . 2. Cho a , b, c thay đổi luôn thỏa mãn a + b + c ≥ 2010 . Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác BCD. Câu 7: (2 điểm)  x3 − 3x = y 3 Giải hệ phương trình :  y − 3 y = z  z 3 − 3z = x  --HẾT-- KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2009-2010 SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN (Đáp án gồm 06 trang) NỘI DUNG ĐIỂMCÂU Cho hàm số y = x − 3mx + 3(m + 6) x + 1 (1) 3 2 1. Tìm m để hàm số (1) có cực trị .Câu 1 3.0 2. Khi hàm số (1) có cực trị , hãy tìm m để điểm A (3;5) nằm trên đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). Ta có: y = 3 x − 6mx + 3 ( m + 6 ) 0.5 2 Hàm số (1) có cực trị khi và chỉ khi y’ có hai nghiệm phân biệt Ý 1. 0.5 ⇔ ∆ = 9(m 2 − m − 6) > 0(1 đ)  m < −2 ⇔ 0.5 m > 3  m < −2 Với  (*) thì hàm số có cực trị và tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số m > 3 (1) là nghiệm của hệ phương trình: 0.5  y = x3 − 3mx 2 + 3(m + 6) x + 1    y = 3 ( x − 2mx + m + 6 ) = 0 2   y = ( x − m ) ( x 2 − 2mx + m + 6 ) + 2 ( − m 2 + m + 6 ) x + m 2 + 6m + 1  ⇔ 0.25Ý 2.  x − 2mx + m + 6 = 0 2 (2 đ) ⇒ y = 2 ( −m 2 + m + 6 ) x + m 2 + 6m + 1 ( d m ) 0.25 ⇒ Tọa độ các điểm cực trị thuộc đường thẳng ( d m ) . Vậy ( d m ) là đường thẳng ...