Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2014-2015 - Trường THPT Yên Định 2

Nhằm giúp các em học sinh lớp 10 có thêm tài liệu ôn thi học sinh giỏi môn Toán sắp tới. TaiLieu.VN đã sưu tầm "Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2014-2015 - Trường THPT Yên Định 2" gửi đến các em. Hy vọng, đây sẽ là tài liệu ôn tập hữu ích trong quá trình ôn tập và rèn luyện của các em!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2014-2015 - Trường THPT Yên Định 2CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017SỞ GD&ĐT THANH HÓAKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNGTRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2NĂM HỌC 2014- 2015MÔN : TOÁN - KHỐI 10§Ò CHÝNH THøC(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)Câu 1 (5điểm):Cho parabol y = - 2x2 (P) và đường thẳng d: y = ax + a – 21. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P).2. Tìm số nguyên a sao cho d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thoã mãn AB = 5Câu 2 (2 điểm):Giải phương trình:x  5 ( x  x  5 )3  2Câu 3 (2 điểm):4 x 3  y 3  x  2 yGiải hệ phương trình:  252 x  82 xy  21 y 2  9Câu 4 (2 điểm):Giải bất phương trình:x x1  2( x 2  x  1)1Câu 5 (2 điểm): Cho tam giác ABC có diện tích S. Chứng minh rằng:cotA + cotB + cotC =a 2  b2  c24SCâu 6 (2 điểm):Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm trên d điểm M sao cho vectơ:MA  2MB  3MC có độ dài nhỏ nhất.www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807Trang | 1CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017Câu 7 (2 điểm):Biết toạ độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là H(2;2), I(1;2)5 52 2và trung điểm M( ; ) của BC. Tìm toạ độ A, B, C biết xB > xCCâu 8 (2 điểm):Cho ba số thực dương x, y, z thoã mãn x  z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:xzy2x  2zP= 2y  yz xz  yz x  z………………………………..Hết…………………………………www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807Trang | 2CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNGMÔN TOÁN – NĂM HỌC 2014 – 2015Câu 1:1. (2 điểm): Tự vẽ2. (3 điểm): Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là: 2x2 + ax + a – 2 = 0 (*) có = (a – 4)2 với a  4 thì (*) có hai nghiệm x1 = -1 và x2 =2  a (2  a) 2A(-1;-2) và B(). ta có AB =;222a. Khi đó225  AB = 5 222 2  a   2  a  1   2  5  2  2a 4  8a 3  17 a 2  8a  4  0  ( a  2)(a 3  6a 2  5a  2)  0Với a 3  6a 2  5a  2  0  a(a  1)( a  5)  2 thì không tồn tại số nguyên a thoã mãn. Vậya = 2 là giá trị duy nhất cần tìm.Câu 2: (3 điểm)ĐKXĐ: x  5a  xb  x  5Đặt: (a > b  0 )ba  b 3  2b(a  b) 3  2b( a  b) 2aa 3  9 hoặc Ta có:  22222b 225b( a  b)a  b  5(a  b) (a  b)  25Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình là: x = 9; x =8116Câu 3: ( 2 điểm)Ta có – 9(4x3 – y3) = (x + 2y)(52x2 – 82xy + 21y2)  8x3 + 2x2y – 13xy2 + 3y3 = 0 (x - y)(8x2 + 10xy – 3y2) = 0  (x-y)(4x - y)(2x + 3y) = 0Từ đó tìm được nghiệm của hệ là (1 ;1) ; (-1 ; -1)Câu 4 : (2 điểm)ĐKXĐ : x  0Nhận xét : 2(x2 – x + 1) – 1 = 2x2 – 2x + 1 > 0 với mọi x  2( x 2  x  1)  1, x nên mẫu sốâm vậy bất phương trình đã cho tương đương với:www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807Trang | 3CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017x  x  1  2( x 2  x  1)  2( x 2  x  1)  1  x  xa  1  xĐặt b  xsuy ra a2 + b2 = x2 – x + 1Vậy bất phương trình trở thành:2( a 2  b 2 )  a  b  ( a  b) 2  0  a  b vậy nghiệm của bất phương trình là x x  1 x  x 3 5(t / m)23 52Câu 5: (2 điểm)Ta có: cos A 12Sb2  c2  a2. Mặt khác từ S = bc sin A suy ra SinA =2bc2bcb2  c2  a2suy ra cot A 4STương tự ta có:a2  c2  b2cot B 4Scot C a2  b2  c24SSuy ra: cotA + cotB + cotC =a2  b2  c24SCâu 6: (2 điểm)Lấy điểm D trên AB sao cho DA = 2DB. Gọi E là trung điểm của CD ta có:MA  2 MB  3MC  3MD  3MC  3ME . Suy ra điểm M cần tìm là hình chiếu của điểm E trênđường thẳng dCâu 7 : (2 điểm)* Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta chứng minh được : IH  3IG43Từ đó tìm ra G( ;2 )www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807Trang | 4CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 Phương trình đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với MI nên BC có phươngtrình : 3x + y – 10 = 0 Phương trình đường thẳng AH đi qua H và vuông góc với BC nên AH có phương trình :x – 3y + 4 = 0 Phương trình đường thẳng AG đi qua A và G nên AG có phương trình là :3x – 7y + 10 = 0Ta có điểm A là giao điểm của AH và AG nên A(-1 ; 1)Do B thuộc BC nên B có toạ độ dạng : B(a ; 10 – 3a). Do M là trung điểm của BC nên C cótoạ độ dạng C(5 – a; 3a - 5).Mặt khác vì H là trực tâm nên BH vuông góc với AC, tương đương vớiBH . AC  0  a 2  5a  6  0  a  2, a  3 . Vì xB > xC nên a = 3vậy A(-1;1); B(3;1); C(2;4)Câu 8: 2 điểmTa có:y22z12xzyx  2zyzxP 2 2xzzy  yz xz  yz x  zy1 11yzxyzx2zy1yx z yxz11 1zyxxzyza2b21  2c 2 2b2  1 a 1 1 c2trong đó ta ký hiệu: a 2 Chú ý : a 2 b 2 *x 2 y 2 z, b  , c  ( a , b, c  R  )yzxx 1 1 do x  zz c2a2b22abF 2 2 ...