Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Cần Thơ

"Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Cần Thơ" với nội dung xoay quanh các chủ đề: Số nguyên, giải hệ phương trình, chu vi tứ giác, số nguyên dương,... Mời các em tham khảo để tích lũy kiến thức, nắm vững lý thuyết và công thức để áp dụng đúng vào từng bài thi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Cần ThơSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHÀNH PHỐ CẦN THƠKÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12CẤP THÀNH PHỐ - NĂM HỌC 2012-2013KHÓA NGÀY: 16/10/2012ĐỀ CHÍNH THỨCMÔN THI: TOÁNThời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đềCâu 1 (4 điểm)Giải hệ phương trình sau trên tập số thực R x+y+z =0x3 + y 3 + z 3 = 48 7x + y 7 + z 7 = 16128Câu 2 (4 điểm)Cho dãy số nguyên (un ) được xác định như sau:u1 = 1 ; u2 = 2un = 4un−1 − un−2 , ∀n ≥ 3, n ∈ Na) Chứng minh rằng u2 + u2 − 4un un−1 = −3 với n ≥ 2, n ∈ Nnn−1b) Chứng minh rằngu2 − 1nlà số chính phương với mọi n, n ∈ N∗ .3Câu 3 (4 điểm)Cho nửa đường tròn (T ) tâm O, đường kính AB = 2R và điểm P di động trên (T ) (P khác A vàB). Gọi (O1 ) và (O2 ) là hai đường tròn nhận OP làm tiếp tuyến chung, đồng thời (O1 ) tiếp xúcvới (T ) và OA theo thứ tự là M, N, (O2 ) tiếp xúc với (T ) và OB theo thứ tự tại H, L.a) Chứng minh rằng khi P di động trên (T ) thì các đường thẳng M N và HL luôn cùng đi quamột điểm cố định K.b) Gọi C, D theo thứ tự là giao điểm thứ hai của (O1 ) với M A và M B, E là giao điểm của CNvới BK và F là giao điểm của DN với AK. Chứng minh rằng khi P di động trên (T ), ta√luôn có bất đẳng thức p > R(3 + 2), trong đó p là chu vi tứ giác ABEF .Câu 4 (4 điểm)Cho dãy 2013 số nguyên dương a1 , a2 , a3 , . . . a2013 thỏa mãn mỗi số không lớn hơn 4026 và với haisố bất kì thì bội số chung nhỏ nhất của hai số ấy luôn lớn hơn 4026. Chứng minh rằng mọi sốhạng của dãy số đã cho đều lớn hơn 1342.Câu 5 (4 điểm)Trong một bảng ô vuông có 10 × 10 ô được điền ở tất cả các ô là dấu “+”. Một bước thực hiệnbằng cách đổi toàn bộ những dấu ở một hàng hoặc một cột nào đó sang dấu ngược lại. Có khảnăng hay không sau hữu hạn bước như trên, bảng ô vuông nhận được có đúng 6 dấu “-” ? Hãychứng minh khẳng định của mình.——HẾT——Ghi chú: Giám thi coi thi không giải thích gì thêm.SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHÀNH PHỐ CẦN THƠKÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12CẤP THÀNH PHỐ - NĂM HỌC 2012-2013KHÓA NGÀY: 16/10/2012ĐỀ CHÍNH THỨCMÔN THI: TOÁNThời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đềHƯỚNG DẪN CHẤMCÂUNỘI DUNG31(4đ)ĐIỂM2Xét đa thức f (t) = t + at + bt + c có các nghiệm là x, y, z.Từ phương trình x + y + z = 0, ta suy ra a = 0.Do đó f (t) = t3 + bt + cMặt khácxn+3 +y n+3 +z n+3 +b (xn+1 + y n+1 + z n+1 )−16 (xn + y n + z n ) = 0(4)Và đặt Sn = xn + y n + z n với n ∈ N∗ . Khi đó (4) trở thànhSn+3 + bSn+1 − 16Sn = 0Ta có S7 = −bS5 + 16S4 = −b (−bS3 + 16S2 ) + 16 (−bS2 + 16S1 ) = b2 S3 −32bS2 + 256S1(5)Thế S7 = 16128, S3 = 48, S2 = −2b, S1 = 0 vào (5), ta được b = ±12+b = 12, ta được f (t) = t3 + 12t − 16 có nghiệm duy nhất (không thỏa)+b = −12, ta được f (t) = t3 − 12t − 16 có ba nghiệm t = −2; t = 2; t = 4Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y; z) là (−2; 2; 4) và các hoán vị của nó.√√a) Phương trình đặc trưng λ2 − 4λ + 1 = 0 ; λ1 = 2 − 3 ; λ2 = 2 + 3un = c1 λn + c2 λn121.0đ1.0đ1.0đc1 λ1 + c2 λ2 = 1c1 λ2 + c2 λ2 = 212D=D c1 =λ1 λ2λ2 λ2121 λ222 λ22√= λ1 λ2 (λ2 − λ1 ) = 2 31đ√= λ2 − 2λ1 = 3 + 2 32√λ1 1= 2λ1 − λ2 = −3 + 2 31λ2 21√√√√3+2 33+2−3 + 2 32− 3√√c1 ==; c2 ==222 3√ 2 3 √2+ 3 n 2− 3 nVậy un = c1 λn + c2 λn =λ1 +λ2 , n ≥ 11222Ta có λ1 .λ2 = 1. Vậy:√√√ n−1 2 − 3√ n−12+ 3un =(2 − 3)λ1 +(2 + 3)λ2221 n−1n−1+ λ2λ, n≥1=2 1Từ đó:D c2 =2(4đ)1đTiếpCÂUNỘI DUNG1 2(n−1)2(n−1)2(n−2)2(n−2)=λ1+ λ2+ λ1+ λ2+4u2 + u2n−1n41 2n−4 22n−4(λ2 + 1) + 4λ(λ1 + 1) + λ2=24 112n−32n−3=4λ2n−3 + 4λ2+ 4 = λ2n−3 + λ2+1114n−24un un−1= 4 λn−1 + λn−1 λ1 + λn−21222n−32n−3n−2= λ1+ λ2+ (λ1 λ2 )(λ1 + λ2 )2n−32n−3= λ1+ λ2+422Vậy un + un−1 − 4un un−1 = −3u2 − 1b) Chứng minh nlà số chính phương.3Từ câu a) ta có 4u2 + u2 − 4un un−1 = 3u2 − 3nn−1n22=⇒ (2un − un−1 ) = 3un − 3u2 − 1(2un − un−1 )2n=⇒=39 . 2u − u.nn−1 . 3, ∀n ≥ 2Ta sẽ chứng minh rằng:. 2u.n−1 − un . 3, ∀n ≥ 2 2u − u = 4 − 1 = 3 . 3..21Thật vậy: với n = 2 thì. 2u − u = 0 . 3.12. 2u − u.kk−1 . 3Giả sử ta có. với ∀k ≥ 2 2u− uk . 3.k−1ĐIỂMSuy ra:2uk+1 − uk1đ1đ= 2 [4 (uk ) − uk−1 ] − uk= 8uk − 2uk−1 − uk.= 6uk + uk − 2uk−1 . 3.2uk − uk+1= 2uk − (4uk − uk−1 ).= −2uk + uk−1 . 3...Nói riêng ta có 2un − un−1 . 3, ∀n ≥ 1.Suy ra 2un − un−1 = 3k, k ∈ Zu2 − 1u2 − 1Vậy n= k 2 suy ra nlà số chính phương.33TiếpCÂUNỘI DUNGĐIỂMPMHO1DO2CBNALOFEK3(4đ)4(4đ)a) Ta có CM D = AM B = 90◦ =⇒ CD là đường kính của (O1 )=⇒ IDM = IM D = OBM =⇒ CD ABTừ đó CN = DN =⇒ AM N = BM N = 45◦ hay M K là tia phân giác củagóc AM B. Vậy K là trung điểm của cung AB và K là một điểm cố định.Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có HL đi qua K.b) Cũng từ kết quả trên ta cũng có: F AN = F N A = EBN = EN B = 45◦Suy ra AF N = BEN = EN F = 90◦ hay tứ giác N EK ...