Đề thi học sinh giỏi toán 12 vòng 1 (2006-2007)

Đây là đề thi chính thức của Sở giáo dục và đào tạo Quảng Nam trong kỳ thi học sinh giỏi môn toán lớp 12 hệ trung học phổ thông năm học 2006 - 2007 (Vòng 1). Thời gian làm bài là 180 phút không tính thời gian giao đề. Mời các bạn cùng tham khảo làm bài.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi toán 12 vòng 1 (2006-2007)SỞ GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12-THPT QUẢNG NAM NĂM HỌC 2006-2007 ===== Môn : TOÁN(Vòng 1). Thời gian :180 phút (không tính giờ giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập số thực : − x −1 2 a) 9 log 3 5 ( x 2 − 2 x + 3) + 32 x − x log 1 (2 x − 1 + 2) = 0 5 b) x( 2 − x 2 + 2) = x 2 + 2 Bài 2: Cho dãy số (an) được xác định như sau :  a1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 24   2a n-1 (3a n-1.a n-3 − 4a n-2 ) 2 a n = a n-2 .a n-3 , ∀n ≥ 4  Tìm an ? Bài 3: Cho đa thức P(x) = xn + a1xn-1 +...+ an-1x + 1, với các hệ số a1, a2, a3,..., an-1 là các số thực không âm và có n nghiệm thực. Chứng minh rằng: P(2006) ≥ 2007n. Bài 4: Cho tam giác đều ABC có độ dài của cạnh bằng 1. Trên cạnh BC dựng hai hình vuông kế tiếp nhau sao cho mỗi hình vuông có hai đỉnh nằm trên BC và một đỉnh nằm trên một trong hai cạnh còn lại của tam giác(mỗi cạnh bên của tam giác chỉ có một đỉnh của hình vuông). Gọi diện tích của các hình vuông là S1 và S2. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng S1 + S2 . Bài 5: Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn: a ≥ b ≥ c > 0 . Chứng minhrằng : a 2 − b2 c 2 − b2 a 2 − c2 + + ≥ 3a − 4b + c c a b ===//===