Đề thi HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 9 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Quảng Ninh

Nhằm giúp các em học sinh đang chuẩn bị bước vào kì thi HSG có thêm tài liệu ôn tập, TaiLieu.VN giới thiệu đến các em Đề thi HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 9 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Quảng Ninh để ôn tập nắm vững kiến thức. Chúc các em đạt kết quả cao trong kì thi!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 9 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Quảng NinhSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOQUẢNG NINHKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNHLỚP 9 NĂM HỌC 2012 – 2013ĐỀ THI CHÍNH THỨCMÔN: TOÁN(Bảng A)Ngày thi: 20/3/2013Thời gian làm bài: 150 phút(không kể thời gian giao đề)Họ và tên, chữ kýcủa giám thị số 1:..............................................................(Đề thi này có 01 trang)Bài 1. (4,5 điểm)a) Chứng minh đẳng thức:3 32 −1 =31 32 34.−+999 x 2 (2013 y − 2012) = 1b) Giải hệ phương trình :  2. x( y + 2012) = 2013Bài 2. (3,5 điểm)Cho hàm số bậc nhất y = mx + m - 1 (*) (với m là tham số).a) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số (*) tạo với các trục tọa độ Oxy mộttam giác có diện tích bằng 2.b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (*) luôn đi qua một điểm cố định với mọigiá trị của m.Bài 3. (4,0 điểm)Cho x, y, z là ba số thực dương thoả mãn xyz = 1.111+ 3+ 3Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 3.33x + y + 1 y + z + 1 z + x3 + 1Bài 4. (6,0 điểm)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là một điểmtrên cung nhỏ AB (I không trùng với A và B). Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu củađiểm I trên các đường thẳng BC, AC, AB.a) Chứng minh rằng ba điểm M, N, P thẳng hàng.b) Xác định vị trí của điểm I để đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất.Bài 5. (2,0 điểm)Giải phương trình sau: (x+3) (4 − x)(12 + x) + x = 28 ........................Hết.....................Họ và tên thí sinh:.............................................................Số báo danh:...............SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOQUẢNG NINHKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNHLỚP 9 NĂM HỌC 2012 – 2013ĐỀ THI CHÍNH THỨCHọ và tên, chữ kýcủa giám thị số 1:MÔN: TOÁN(Bảng B)Ngày thi: 20/3/2013Thời gian làm bài: 150 phút(không kể thời gian giao đề).............................................................(Đề thi này có 01 trang)Câu 1. (4,0 điểm)() x x −1 x x +1   2 x − 2 x +1Cho biểu thức P =  x − x − x + x :x −1 với x >0 ; x ≠ 1.a) Rút gọn biểu thức P.b) Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên.Câu 2. (4,0 điểm)a + b + c = 6Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời:  2.a + b 2 + c 2 = 12Tính giá trị của biểu thức P = (a - 3) 2013 + (b - 3) 2013 + (c - 3) 2013 .Câu 3. (4,0 điểm)Giải phương trình: 2( x 2 − 4 x) + x 2 − 4 x − 5 − 13 = 0 .Câu 4. (6,0 điểm)Cho đường tròn (O) và BC là một dây cung không đi qua tâm O. Điểm A bất kìnằm trên cung lớn BC của đường tròn (O) sao cho điểm O luôn nằm trong tam giácABC (A ≠ B; C). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.b) Đường cao AD cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh I đối xứng với H qua BC.c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AH = 2OM.Câu 5. (2,0 điểm)111++≥ 2.Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn1+ x 1+ y 1+ zTìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xyz.-----------------Hết----------------Họ và tên thí sinh :……………………………………………..Số báo danh :………...`SỞ GD&ĐT QUẢNG NINHHƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNHLỚP 9 NĂM HỌC 2012 – 2013ĐỀ THI CHÍNH THỨCMôn: TOÁN (BẢNG A)(Hướng dẫn chấm này có 04 trang)BàiSơ lược bài giảiĐiểmĐặt 2 = a ⇔ 2 = a .33Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 3 a − 1 =Câu a2,5điểm221− a + a2393⇔ 9(a − 1) = a − a + 1 ⇔ (a − a + 1) = 9(a − 1).30,50,5Biến đổi vế trái:(a 2 − a + 1)3 = (a 2 − a + 1) 2 (a 2 − a + 1)= 3(a 2 − 1)(a 2 − a + 1) = 3(a − 1)(a + 1)(a 2 − a + 1)= 3(a − 1)(a 3 + 1) = 3(a − 1)(2 + 1) = 9(a − 1)1,5Vậy đẳng thức được chứng minh.2. ta thấy x = 0 không là nghiệm. hệ phương trình tương đươngvới:Bài 14,5đCâu b2,0điểm12013 y − 2012 = x 2(*) y 2 + 2012 = 2013x21t − 2013 y + 2012 = 0Đặt: = t , hệ (*) ⇒  2⇔ t 2 − 2013 y = y 2 − 2013tx y − 2013t + 2012 = 0y = t⇔ (t − y )(t + y + 2013) = 0 ⇒  y = −t − 2013* Trường hợp y = t ⇒ t 2 − 2013t + 2012 = 0,Giải PT được : t1 = 1; t2 = 2012* Trường hợp y = −t − 2013 ⇒ t 2 + 2013t + 20132 + 2012 = 0 , PT vônghiệmCâu a2,0điểmBài 23,5đ1Vậy hệ có nghiêm ( ( x1 = 1; y1 = 1); ( x2 =; y2 = 2012)2012Vì (*) là hàm số bậc nhất nên m ≠ 0 .(1)0,50,50,50,50,25Điều kiện để đồ thị của (*) tạo với các trục tọa độ Oxy một tamgiác là m ≠ 1.(2)Gọi A là giao điểm của đường thẳng (*) với trục tung0,25⇒ A(0; m-1) nên độ dài OA = | m - 1|.0,25Gọi B là giao điểm của đường thẳng (*) với trục hoành⇒ B(1− m1− m; 0) nên độ dài OB = ||.mm10,25SABC = 2 ⇔21OA.OB = 2 ⇔ OA.OB = 4.20,25⇔ (m - 1) = 4|m|*Với m > 0 thì m2 - 2m + 1 = 4m0,252⇔ m - 6m + 1 = 0⇔ m1 = 3 – 2 2 ; m2 = 3 + 2 2 .*Với m < 0 thì m2 - 2m + 1 = - 4m2⇔ m + 2m +1 = 0⇔ m = -1Vậy m ∈ { -1; 3 - 2 2 ; 3 + 2 2 } thỏa mãn điều kiện (1) và (2).0,250,25Câu b1,5ĐiểmBài 34đ4điểmGọi M(x0; y0) là điểm cố định thuộc đồ thị (*) khi và chỉ khi:y0 = mx0 + m – 1∀m ∈R ...