Đề thi HSG môn Toán 11

Các em có thể tham khảo "Đề thi HSG năm 2011 - 2012 môn Toán 11" này để luyện tập những kỹ năng làm bài, rèn luyện kiến thức tiếng Toán để chuẩn bị thật tốt cho các kì thi môn Toán sắp tới.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi HSG môn Toán 11SỞ GD-ĐT HÀ NAMĐỀ THI HSG TOÁN 11(Thời gian làm bài :180 phút )Câu 1 : (4 điểm) Cho 3  n  N .Tìm nghiệm x  (0,  / 2 ) của PT sin n x  cos n x  n.22n2Câu 2: (4 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab = 1 + c(a + b).abc2Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1  a 2 1  b2 1  c 2Câu 3: ( 4 điểm) GPT1  x3 2x2  2 5Câu 4: (4 điểm) Cho thập giac lồi .a) tìm số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của thập giác đó.b) số tam giác không co cạnh nào là cạnh của thập giác đó.Câu 5 (2điểm) Cho tam giác ABC nhọn ,phía bên ngoài của tam giác ABC dựng haitam giác đều ABM và ACN.Tìm một phép dời hình biến đoạn thẳng MC thành đoạnBN .Từ đó suy ra MC=BNCâu 6 (2 điểm) Giải HPT: x 2  y 2  x  y  2 22 x  y  y  x  2……………………………..Hết……………………………………………..ĐÁP ÁNCâu 1: (4 điểm) Ta có :nn (2  n )2nn (2  n )2n 2sin n x  sin n x  2 ..2n 2.  n 2.(sin n x) n  n.2n ( 2 n )2sin 2 x( n  2) sôn 2cos n x  cos n x  2 ..2n  2.  n 2.(cos n x) n  n.2n (2  n )2cos 2 x( n  2) sôCộng vế ta được2(sin n x  cos n x)  (n  2).2 sin n x  cos n x  22 n22 n2 n.22 n2.(sin 2 x  cos 2 x)  n.22 n2.Dấu bằng xẩy ra sinx=cosx= 1/ 2  x   / 4Câu 2 (4 điểm)đặt a  tan  , b  tan  , c   tan  với  ,    0;  ,     ;0 2 2 Từ giả thiết ta cóab  1  c(a  b)  tan  .tan   1  tan  (tan   tan  )1tan   tan tan  1  tan  tan  tan(   )  tan(   )2     k22vì          nên      P  tan  .cos 2  tan  .cos 2   tan 2  .cos 2 2mà1(sin 2  sin 2   2sin 2  )21P  [2sin(   ) cos(   )  2sin 2  ] =  cos 2  cos cos(   ) +122cos(   )  cos 2 (   )5P    cos 1  2445cos 2 (   )=1    12Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1cos(   )cos=cos0  223 a  b  2 3, c  35Vậy GTLN của P bằng khi và chỉ khi a  b  2  3 , c  34Câu 3: (4 điểm) GPTvà v= x 2  x  1 (u,v không âm)Đặt u= x  1uv  25uu 222ta đc 5uv  2(u  v )   2( )  2  vvu  1 v 2uTH1  2 vô nghiệmv x  15  372 2 x 1  x  x 1   x uTH2  1/ 22v x  5  372Nghiệm của PT là x 5  375  37;x 22Câu 4 :(4 điểm)a) TH1 : số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của thập giác là6 x 10 = 60 tam giácTH2 số tam giác có 2 cạnh là cạnh của thập giác là 10 tam giác vi với mối đỉnhcùng hai cạnh chứa đỉnh đó tạo thành 1 tam giácVậy số tam giác ít nhất 1 cạnh là cạnh của thập giác là :60+10= 70 tam giácb) Tổng số tam giác tạo thành từ 10 đỉnh là: c 310  120Vậy số tam giác không co cạnh nào là cạnh của thập giác là:120-70 =50 tam giácCâu 5Qua phép quay Q( A;60 ) thì điểm M biến thành B;điểm C biến thành điểm N .Do đó ,qua0phép quay Q( A;60 ) thì đoạn MN biến thành đoạn BN .Vậy MC=BN0